Расчет показателей надежности и законов их распределения (стр. 2 из 2)
3.2 Нормальный закон распределения
Таблица 6 - Выравнивание статистического ряда по нормальному закону
| Нормальный закон | ||||||
| Теор частоты | ||||||
| W | f | W-X | x=(W-Ч)/сигма | f(x) | Nkf(x)/сигма | f' |
| 16,09 | 0,00 | 10,76 | 4,87 | 0,00 | 0,000 | 0,00 |
| 14,09 | 0,00 | 8,76 | 3,97 | 0,00 | 0,007 | 0,00 |
| 12,09 | 0,00 | 6,76 | 3,06 | 0,00 | 0,167 | 0,00 |
| 10,09 | 2,00 | 4,76 | 2,15 | 0,04 | 1,773 | 2,00 |
| 8,09 | 9,00 | 2,76 | 1,25 | 0,18 | 8,277 | 8,00 |
| 6,09 | 16,00 | 0,76 | 0,34 | 0,38 | 17,026 | 17,00 |
| 4,09 | 14,00 | -1,24 | -0,56 | 0,34 | 15,431 | 15,00 |
| 2,09 | 9,00 | -3,24 | -1,47 | 0,14 | 6,162 | 6,00 |
| Всего | 50,00 | 48,84 | 48,00 | |||
Рисунок 2 - Выравнивание статистического ряда по нормальному закону распределения
Таблица 7 - Определение различий законов распределения
| W1 | f | f ' | f-f ' | (f-f ' )^2 | ( f-f ' )^2/f ' |
| 16,1 | 0 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 |
| 14,1 | 0 | 0,01 | -0,01 | 0,00 | 0,01 |
| 12,1 | 0 | 0,17 | -0,17 | 0,03 | 0,17 |
| 10,1 | 2 | 1,77 | 0,23 | 0,05 | 0,03 |
| 8,1 | 9 | 8,28 | 0,72 | 0,52 | 0,06 |
| 6,1 | 16 | 17,03 | -1,03 | 1,05 | 0,06 |
| 4,1 | 14 | 15,43 | -1,43 | 2,05 | 0,13 |
| 2,1 | 9 | 6,16 | 2,84 | 8,06 | 1,31 |
| Всего | 50 | 48,842 | 1,77 |
Следовательно, c02:11,1; 15,1; 20,5 при b соответственно 0,95, 0,99, 0,999
Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2 меньше c02, то есть эмпирическое распределение не противоречит нормальному закону распределения.
3.3 Распределение Вейбула
Таблица 8 - Выравнивание статистического ряда по распределение Вейбула
| W | f | Wi /a | x=af (Wi/a) |  | f' |
| 16,09 | 0,00 | 2,74 | 1,2134 | 20,636 | 20,6 |
| 14,09 | 0,00 | 2,40 | 1,4715 | 25,026 | 25,0 |
| 12,09 | 0,00 | 2,06 | 1,5130 | 25,731 | 25,7 |
| 10,09 | 2,00 | 1,72 | 1,3597 | 23,124 | 23,1 |
| 8,09 | 9,00 | 1,38 | 1,0791 | 18,352 | 18,4 |
| 6,09 | 16,00 | 1,04 | 0,7590 | 12,908 | 12,9 |
| 4,09 | 14,00 | 0,70 | 0,4697 | 7,988 | 8,0 |
| 2,09 | 9,00 | 0,36 | 0,2495 | 4,243 | 4,2 |
| Всего | 50,00 | 138,01 | 137,90 |
Рисунок 3 - Выравнивание статистического ряда по распределению Вейбула
Таблица 9 - Определение различий законов распределения
| W1 | f | f ' | f-f ' | (f-f ' )^2 | ( f-f ' )^2/f ' |
| 16,1 | 0 | 20,6 | -20,60 | 424,36 | 20,60 |
| 14,1 | 0 | 25,0 | -25,00 | 625,00 | 25,00 |
| 12,1 | 0 | 25,7 | -25,70 | 660,49 | 25,70 |
| 10,1 | 2 | 23,1 | -21,10 | 445,21 | 19,27 |
| 8,1 | 9 | 18,4 | -9,40 | 88,36 | 4,80 |
| 6,1 | 16 | 12,9 | 3,10 | 9,61 | 0,74 |
| 4,1 | 14 | 8,0 | 6,00 | 36,00 | 4,50 |
| 2,1 | 9 | 4,2 | 4,80 | 23,04 | 5,49 |
| Всего | 50 | 137,900 | 106,11 |
Следовательно, c02: 15,1; 20,5 при b соответственно, 0,99, 0,999
Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит распределения Вейбула.
Вывод: Эмпирическое распределение соответствует нормальному закону распределения.
4. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины
В рассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величин неизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называется точечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность. Пусть для параметра X (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра X.
Требуется определить ошибку замены параметра Xего точечной оценкой X. Назначим некоторую вероятность b (b = 0,9) и определим такое значение ошибки e> 0, для которого
.Это равенство означает, что с вероятностью
неизвестное значение параметра Xпопадает в интервал 
.Интервал
называется доверительным, а b- доверительной вероятностью.Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле
,где tb - коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам в зависимости от доверительной вероятности b и числа степеней свободы или размера выборки N -1, ( tb= 1,658)
Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле:
Iβ=(4,812; 5,848)
Таким образом, точное значение ресурса автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта с вероятностью 0,99 находится в пределах от 4,812 до 5,848 тыс. км пробега.
Список использованных источников
1. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Методические указания и задания к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. - 36 с.
2. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Нормативно справочный материал к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. - 14 с.