Место и роль математики в менеджменте и экономике (стр. 2 из 3)

Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции.

Определение монотонности функции на интервале Функция y= f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х1 и х2 этого интервала из условия

х1< х2 следует, что f(x1) < f(x2). Если же из условия х1 < х2 следует, что f(x1) > f(x2), то функция называется убывающей на этом интервале.

Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, чтоf’(x) = tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f‘(x) > 0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если жеf‘(x) < 0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы.

Определение точек экстремума функции. Пусть х0 – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x0- δ, x0+ δ [ точки х0, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0) (неравенство f(x) ≥ f(x0)), точка х0 называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции.

Необходимый признак существования экстремума дифференцируемой функции.

3.3 Теорема Ферма

Если х0 есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x0)=0.

Эта теорема не является достаточным условием существования экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х0 функция имеет экстремум.

Замечание: теорема не верна, если функцию рассматривать на отрезке.

Определение критических точек функции. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Достаточные условия существования экстремума.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f‘(x) > 0 на интервале [a, x0] и f‘(x) < 0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой максимума функции f(x).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f‘(x) < 0 на интервале [a, x0] и f‘(x) > 0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой минимума функции f(x).

Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.

3.4 Наибольшие и наименьшие значения функции

Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Глава 4. Место и роль математики в менеджменте и экономике

Сегодня математика выступает в качестве необходимого и вполне работоспособного инструмента, используемого для повышения эффективности результата в различных областях целенаправленной человеческой деятельности. Одной из таких областей является управление предприятиями и другими организациями, ведение современного хозяйства – менеджмент и экономика. Решение многих управленческих и экономических задач строится на рассмотрении зависимостей интересующих нас величин от различных факторов. Функция показывает, как одна величина зависит от другой. При этом ту величину, от которой ищется зависимость, называют независимой переменной или аргументом (х), а ту величину, которая зависит от аргумента, называют зависимой величиной или функцией (у). Например, можно сказать, что прибыль является функцией от затрат или что цена товара есть функция от спроса на него. Выражение функции в общем виде записывается как у=f(x) Например, известно, что рентабельность (норма прибыли - НРПР) связана с прибылью (ПР) следующим образом: НРПР = ПР : З ∙100%, где З – затраты. Здесь прибыль является аргументом, а норма прибыли – функцией прибыли. Важной для менеджмента и экономики является функция, показывающая зависимость эффективности (Э) от дохода (Д) и затрат:

Э = Д : З. В математике различают следующие основные простейшие функции:

- постоянные:

у = С, (C = const),

где С – постоянное число;

- степенные: у = уⁿ;

- показательные: у = ах

Складывая, вычитая, умножая и деля простейшие функции, получают так называемые элементарные функции. Вот некоторые из часто употребляемых в менеджменте и экономике элементарных функций:

- линейная функция или линейная форма: y = kx+b;

- функция второй степени или квадратичная форма: y = ax2+bx+c;

- функция n-й степени или многочлен n-й степени, например, многочлен 4-й степени:

у = 5х4 + 3х3 + 4х2 + 7х – 6.

4.1 Таблицы и графики

Функции обычно характеризуются математическими зависимостями, которые удобно представить в виде наглядных графиков. Следует иметь в виду, что по сложившейся традиционной практике в ряде экономических задач назначение координатных осей меняется: вертикальная ось используется для аргументов, а горизонтальная – для функций ( что иногда приводит к путанице). Особенно широкое применение получили графики функций прямой и обратной пропорциональности. Пример: Построить график нормы прибыли (рентабельности) в зависимости от прибыли при постоянных затратах, равных 750 у.д.е. Решение: Норма прибыли (рентабельность) рассчитывается по формуле: НРПР = ПР : З ∙ 100%. По этой формуле строится график нормы прибыли (функция) в зависимости от величины прибыли (аргумент) при постоянных затратах (примем З = 750 у.д.е.).

Пример: Построить график эффективности в зависимости от затрат при постоянном доходе, равном 100 у.д.е. Решение: Эффективность рассчитывается по формуле: Э = Д : З. По этой формуле строится график эффективности в зависимости от затрат при постоянном доходе (примем Д = 100 у.д.е.).

Это график обратной пропорциональности. В тех случаях, когда нет возможности представить функцию в виде математической формулы, построению графика предшествует составление таблицы, содержащей данные об интересующей нас зависимости. В этих таблицах значения аргументов и функций даются с интервалами, достаточными для построения плавного графика. Пример: Рассмотрим спрос на мороженое в ларьке за один день.

Цена за одну порцию, у.д.е.	Кол-во порций мороженного, покупаемых за день (величина спроса)
600650700750800	6035251510

Решение: По данным таблицы построим график спроса. По традиции аргументы здесь откладываются по оси у, а функции – по оси х. График представляет собой кривую обратно пропорциональной зависимости, что соответствует закону спроса.

Анализируя таблицу и график, следует отличать спрос от величины спроса. Спрос в данном случае – это вся совокупность цен и соответствующего количества товара в таблице. На графике спросу соответствует вся кривая линия. Величина же спроса – это конкретное значение количества товара, продаваемого за один день по каждой данной цене; ей соответствуют отдельные точки линии спроса на графике. Когда говорят об изменении спроса на товар, имеют в виду смещение в ту или иную сторону всей кривой (или новые значения цен, соответствующих количеству продаваемого товара в таблице). С помощью графика спроса можно решить следующие задачи: 1) определить величины спроса – количество продаваемого товара при любых изменениях цены; 2) определить характер изменения спроса (больше, меньше, без изменений) при изменениях цен на товар и количества продаваемого по этим ценам товара. Изменение спроса (положения кривой и ее формы) зависит главным образом от изменений:

- вкусов покупателей (например, повышение интереса к экологически чистым продуктам);

- числа покупателей;

- дохода покупателей;

- цен на сопутствующие товары (например, повышение цен на источники электропитания для переносной радиоаппаратуры изменяет спрос на саму аппаратуру);

- покупательских ожиданий (например, если ожидается неурожай, спрос на сельхоз продукцию может повыситься).

4.2 Пример исследования функции в менеджменте и экономике

Совместное рассмотрение спроса и предложения. Равновесная цена.

Совместное рассмотрение спроса и предложения начнем с анализа данных таблицы, где представлены спрос и предложение на мороженое за один день.

Спрос и предложение мороженого

Цена за одну порцию у.д.е.	Кол-во порций мороженого, покупаемых за день (величина спроса)	Кол-во порций мороженого, предлагаемых за день (величина предложения)
600650700750800	6035251510	–25405060

По данным таблицы построим математическую модель – график спроса и предложения на мороженое за один день.

С помощью данной модели легко проследить динамику изменения спроса и предложения на товар и формирование его рыночной цены.