Теорема Силова (стр. 2 из 10)
Если M– произвольная часть группы G, то пересечение (M) всех подгрупп, содержащих M, называющиеся подгруппой, порожденной множеством M, а само M– порождающим множеством подгруппы (M). Иногда говорят, что элементы множества Mявляются порождающими элементами подгруппы (M). Группа, обладающая конечным порождающим множеством, называется конечно порожденной. ■
Теорема 1.1.5. Если M– подмножество группы G, то
(M) = 
.
Доказательство.
Обозначим правую часть через H, так как подгруппа (M) содержит все aiиз M, то (M)ÊH. С другой стороны, HHÍH, H-1ÍH, поэтому H– подгруппа, содержащая M. Отсюда HÊ(M) и окончательно H=(M). ■
Если каждое соотношение в группе G относительно порождающего множества Mявляется следствием из некоторого множества соотношений Ф, то Ф – называют определяющим множеством соотношений группы G относительно порождающего множества M. Группы, имеющие конечное число определяющих соотношений, называются, конечноопределенными. Именно такие группы часто возникают в приложениях теории групп к геометрии и топологии. Иногда определяющие соотношения таковы, что элементам группы удается дать некоторую каноническую запись, и умножение элементов в канонической записи не представляет труда. Рассмотрим примеры этого рода.
Пример 1.Группа задана двумя образующими a и b, связанными соотношениями a2=1(то естьa=a-1), b3=1 и aba=b2. Очевидным следствием из этих соотношений является ab2a=b. Последние два соотношения можно записать в форме ba=ab2 и b2a=ab. Эти соотношения позволяют переносить образующий a через b или b2 справа налево, заменяя b на b2 и b2 на b. Это позволяет записать любой элемент группы в форме akbm при k=0,1и m=0,1,2. Рассматривая элементы этого вида формально, с правилами умножения, вытекающими из правила переноса aсправа налево и условий a2=1и b3=1, нетрудно проверить, что символы akbm действительно образуют группу. Она конечна, её порядок равен 6. Легко видеть, что она изоморфна симметрической группе S3 подстановок из трех элементов. Изоморфизм дается соответствием a®(1,2), b®(1,2,3).
Пример 2. Группа задана двумя образующими c, aи соотношениями a2=1 и aca=c-1. Здесь образующий c свободен, то есть порождает бесконечно циклическую группу. Очевидным следствием из этих соотношений является acma=c–m при любом целом m. Из соотношения acma=c-mследует правило переноса образующего a справа налево, именно, cma=ac-m. Это правило позволяет записать любой элемент группы в виде akcm при k=0,1 и любом целом m. Легко проследить, что символы akcm при умножении с правилами, обусловленными соотношениями a2=1и cma=ac-m, действительно образуют группу.
1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа
п.1. Пусть в группе G дана подгруппа H. Если a есть произвольный элемент из G, то произведение aHназывается левымсмежным классом группы G по подгруппе H, определенным элементомa. Аналогично дается определение правого смежного класса.
Представление группы G в виде объединения левых (правых) смежных классов по подгруппе H называется левосторонним (правосторонним) разложением группы G по подгруппе H.
G= 
.
Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.
Предположим, что
Æ докажем, тогда что 
.Имеем,
Æ следовательно, существует 
, такой что 
. Тогда, 
так как существует 
такой что, 
следовательно 
.Пусть y произвольный элемент группы H. Тогда элементы xy и x–1yÎH. Поэтому элемент cy=(ax)y=a(xy)ÎаH, а элемент ay=(cx–1)y= =c(x–1y)cÎH, так как каждый элемент из cH содержится в aH и наоборот, то aH=cH. Аналогично так же bH=cH и, следовательно, aH=bH.
Аналогично доказывается условие совпадения правых смежных классов:
. ■Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе содержат одинаковое количество элементов.
В самом деле, докажем, что произвольный смежный класс aH содержит столько же элементов, сколько их в подгруппе H. Имеем:
, 
.Рассмотрим отображение φ: gH→H по правилу φ(ghi)=hi для любого hiÎH. Заметим что
2)φ – отображение, то есть
.Действительно,
.2)отображение φ взаимно однозначно, что доказывает проведение предыдущих рассуждений в обратном порядке.
2)φ – отображение на H. В самом деле, прообразом произвольного элемента hÎH является элемент ghÎgH: φ(gh)=h.Итак, φ – взаимно однозначное отображение gHна H, отсюда следует, что gH и H содержат одинаковое количество элементов.■
Если группа G состоит из конечного числа элементов, то она называется конечной группой, а число элементов в ней порядком группы.
Теорема 1.2.1. (Лагранжа)Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
Доказательство.Пусть H– подгруппа конечной группы Gи
– множество всех различных левых смежных классов группы G по подгруппе H. Тогда,G= 
. (1)
Причем любые два смежных класса, входящие в это объединение, не пересекаются, как было отмечено выше. Поэтому если n– число элементов множества G и m– число элементов множества H, то есть число элементов в каждом левом смежном классе, то в силу (1), получаем 
или 
, где индекс 
– количество смежных классов в разложение (1). Теорема доказана. ■
Следствие 1. Порядок элемента конечной группы, является делителем порядка группы.
Доказательство. Пусть G– конечная группа, а его элемент порядка m. Тогда циклическая группа, порожденная элементом порядка m, имеет тоже порядок m, то есть
. Отсюда по теореме 1.2.1. mявляется делителем порядка всей группы G. ■Следствие 2.Пусть G– группа простого порядка, тогда G– циклическая группа (изоморфна ℤp).
Доказательство.Действительно, группа G совпадает с циклическойподгруппой порожденной любым её отличным от е, элементом.
п.2. Покажем, что теорему Лагранжа нельзя обратить, то есть не для любого делителя m порядка группы существует подгруппа порядка m. Например, знакопеременная группа A4 – подстановок четной степени не содержит подгруппы порядка 6. Хотя число 6 делит её порядок равный 12. Докажем это, предварительно сформулируем утверждение.
Произвольная группа порядка 6 либо изоморфна ℤ6, либо изоморфна группе S3.
Доказательство.Пусть G– отличная от единичной группа,
, тогда по следствию теоремы Лагранжа, все элементы искомой группы могут иметь порядки 1, 2, 3, 6. Рассмотрим три случая.