Теорема Силова (стр. 7 из 10)

По теореме 1.4.1. получаем, что если

,то мощность класса сопряженных с g элементов:

учитывая что

– взаимно просто с p по теореме Лагранжа получаем, что

делиться на р^α по индукционному предложению так как порядок N_G(g) меньше порядка G, то в N_G(g) содержится подгруппа порядка p^α. Вместе с (ii) доказано и а).

b) Пусть

и порядок

. Обозначим Δ– класс подгрупп сопряженных с P элементами из группы G. Рассмотрим два случая.

(i) Порядок Δ и P взаимно просты, то есть НОД(

Δ
,
P
)=1 по теореме 1.4.1.

в силу теоремы Лагранжа, получаем:

и,

следовательно,

отсюда следует, так как порядок G делится на

и НОД(
Δ
,
)=1, то

поэтому по пункту а): существует подгруппа

группы

. Откуда получаем, что полный прообраз подгруппы

подгруппа H имеет

p^α^-1·p=p^αи

(ii)

(iii) Порядок Δ делиться на p.

Пусть Δ={P}ÈΔ₁È…ÈΔ_m,Δ– это разбиение на подклассы подгрупп сопряженных с P. Если порядок Δ=m+1, то

Δ=

(Обозначим Δ₁– подклассы подгрупп сопряженных с P₁, Δ₂– подклассы подгрупп сопряженных с P₂ и т. д.). Тогда если Q_iÎΔ_i, то

– по теореме 1.4.1. так как по теореме Лагранжа

, то
Δ_i
=p^α, где 0≤α≤α-1.

Откуда

и по условию порядок Δ делиться на p. Следовательно, должно существовать i– такое, что α_i=0 и
Δ_i
=1, значит, в подклассе Δ_i лежит только одна подгруппа. Пусть Δ_i={Q}, тогда для любого pÎP:p^–1Pp=Q то есть P нормализует Q и

. Далее применяя предложение 1.5.5 получаем, что PQ подгруппа группы G, причем

. Применяя теорему 1.5.6. (об изоморфизме) имеем

. Отсюда по теореме Лагранжа следует

. Учитывая, что Q сопряжено с P получаем:

, где β >0 (так как если β=0, то

и, следовательно

, что неверно).

Сейчас применим к подгруппе PQ внутренний, автоморфизм группы G, который пересекает подгруппу Q в Q^g=P. Получаем, что образ подгруппы PQ при этом автоморфизме будет являться подгруппа.

причем P будет являться нормальной подгруппой группы P^’P. Рассмотрим фактор группу P^'P/P,

>0. Следовательно, P^'P/P существует, по пункту а) подгруппа

порядка p. Тогда полный прообраз подгруппы

подгруппа H и будет являться искомой подгруппой порядка

. Пункт b) теоремы доказан полностью. ■

2.2 Вторая и третья теорема Силова

Максимальная по вложению p-подгруппа конечной группы G называется силовской p-подгруппой группы G. Из доказанной теоремы вытекает в частности, что силовские p-подгруппы конечной группы, это в точности подгруппы порядка p^t где p^t– максимальная степень p делящий порядок группы.

Теорема 2.2.1. (вторая теорема Силова)

(Сопряженность) Все силовские p– подгруппы группы G сопряжены.

Доказательство.Пусть P– силовская подгруппа, если

, где НОД(p,m)=1, то
. Пусть, Δ как и раньше класс подгрупп, сопряженных с P элементами из G. Покажем, что если Q симметрическая p– подгруппа, то QÎΔ. Из теоремы 1.4.1. имеем

По теореме Лагранжа, получаем

, НОД(
Δ
,p), откуда

и, следовательно, разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из Q: Δ=Δ₁È∆₂…È∆_k