Теорема Силова (стр. 8 из 10)

Если подгруппа SÎΔ_i, то

Δ , .

Следовательно,

Δ

.

Отсюда так какНОД(

Δ , то существует i такое что и Δ_i={S}. Таким образом, S^q=S и, значит, . Тогда по предложению 1.5.5. подгруппа группы G, . Применяя теорему 1.5.6 (об изоморфизме) получаем: . Откуда получаем . Следовательно, по теореме Лагранжа порядок G делиться , но t– максимальная степень числа p, поэтому α=0 и . Отсюда следует и значит Q=S (так как ). И так

Δ, что и требовалось доказать.

Теорема 2.2.2. (третья теорема Силова)

(Количество) Количество силовских p-подгрупп группы G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок G.

Доказательство.Пусть P– силовская p-подгруппа, Δ – класс всех подгрупп сопряженных с p элементами из G.

По теореме 2.2.1. (вторая теорема Силова) Δ совпадает с множеством всех силовских p-подгрупп так как

Δ , по теореме Лагранжа

Δ , то есть порядок G делиться на порядок Δ.

Разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из P:Δ={P}ÈΔ₁È…ÈΔ_s, если подгруппа RÎΔ, то |Δ|=

и, следовательно, |Δ_i|= , . Если Δ_i={R} и . В силу предложения 1.5.5. получаем что RP=PRподгруппы группы G и .

Далее по теореме 1.5.6. (об изоморфизме) получаем

, следовательно, так как t – максимальная степень числа p, то n=0, отсюда следует . Противоречие с тем что , поэтому и, следовательно, имеем:

|Δ|=

, таким образом, порядок |Δ |=1 (modp). Теорема доказана. ■

Теорема 2.2.3. Справедливо следующее утверждение:

i) Силовская р-подгруппа Р группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда она единственна.

ii) Конечная группа G порядка

является прямым произведением своих силовских -подгрупп в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.

Доказательство:(i) Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка

, по второй теореме Силова сопряжены. Условие единственности Р означает, что для любого элемента то есть .

(ii) Докажем вначале

Необходимость. Пусть

, где – силовские подгруппы группы G. Тогда в силу теоремы 1.4.5 нормальна в G как любой прямой множитель.

Достаточность. Пусть теперь

нормальна в Gи , то есть каждая силовская подгруппа единственна в G. Заметим, во первых, что если , , и, следовательно, x=e. Стало быть, отсюда для любых , учитывая, что .

. С другой стороны, так как , то

, отсюда следует, то есть элементы и перестановочны.

Пусть единичный элемент

записан в виде , где – элемент порядка . Обозначив и воспользовавшись перестановочностью , получим

(1)

Учитывая, что

– это порядок элемента . Из последнего равенства (1) получаем , так как и взаимно просто, то . Это верно при любом j, и, значит равенство возможно лишь при .

С другой стороны каждый элемент

порядка , записывается в виде,