Метод релаксации переменных решения СЛАУ (стр. 2 из 4)
| А=А1+D+A2, | (1.10) |
где D= diag[a11, a22, ...,amm] - диагональная матрица,
А1=
- нижняя треугольная матрица,А2=
- верхняя треугольная матрица.Представим систему (1.1) в матричной форме
 | (1.11) |
Метод Якоби в матричной записи выглядит следующим образом
 , | (1.12) |
Или
 ,  . | (1.13) |
Существуют итерационные методы, обладающие лучшей скоростью сходимости, чем методы Якоби. В этих методах при вычислении i+1 итерации
компоненты вектора решения используются, найденные на i+1 итерации компоненты решения с номерами 
, l=1,2,...,j-1. Наиболее распространенным методом подобного типа является метод Зейделя. Продемонстрируем его применение на системе (1.3). Вновь, задавая начальное приближение, для первой итерации запишем  | (1.14) |
После проверки условия сходимости совершаем вторую итерацию и т.д. Для i+1 итерации запишем
 | (15) |
Общая формула имеет вид
 . | (1.16) |
Запишем метод Зейделя в матричной форме
 , | (1.17) |
или в форме близкой к каноническому виду
 , | (1.18) |
 . | (1.19) |
Äëÿ îäíîøàãîâûõ èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ, ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè
 . | (1.20) |
Здесь
- матрица, задающая тот или иной итерационный метод, 
- итерационный параметр. В случае метода Якоби - это матрица D, а =1, в случае метода Зейделя =D+А1, а итерационный параметр также равен единице =1.Формируя матрицу B различным образом и задавая различные значения итерационного параметра, можно получать одношаговые итерационные методы самого разного вида. В зависимости от выбора этих параметров мы будем получать методы, которые будут обладать различной скоростью сходимости, т.е. заданная точность будет достигаться за разное число итераций.
Одним из наиболее распространенных одношаговых итерационных методов является метод верхних релаксаций*, который имеет следующий вид
 , | (1.21) |
где w>0 - заданный числовой параметр. Этот параметр выбирается таким образом, чтобы на каждом шаге итерационного процесса уменьшалась величина, характеризующая близость полученного решения к искомому решению системы.
Для получения расчетных формул (1.21) перепишем в виде
 , | (1.22) |
или в покомпонентной записи получим
 . | (1.23) |
Приведем несколько строк покомпонентной записи
 , | (1.24) |
 , | (1.25) |
 | (1.26) |
Практика применения итерационных методов показала, что эти методы приводят к правильному решению для систем с матрицей А имеющей специальный вид. Приведем ряд теорем о сходимости итерационных методов. Доказательства этих теорем приводятся в книге [1].
Рассмотрим итерационные методы с постоянным итерационным параметром, записанные в виде
 . | (1.27) |
Теорема 1.
Пусть А- симметричная положительно определенная матрица, t>0 и пусть выполнено неравенство В-0,5tА>0. Тогда итерационный метод (1.27) сходится.
Следствие 1.
Пусть А- симметричная положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, т.е.
 | (1.28) |
Тогда метод Якоби сходится.
Следствие 2.
Пусть А- симметричная положительно определенная матрица. Тогда метод верхних релаксаций сходится при условии 0<w<2. В частности, метод Зейделя сходится (w=1).
Теорема 2.
Итерационный метод (1.27) сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы
по модулю меньше единицы.Теорема 3.
Пусть А и В - симметричные положительно определенные матрицы, для которых справедливы неравенства
, где g1,g2- положительные постоянные, g1>g2. При 
итерационный метод (1.27) сходится и для погрешности справедливы оценки  , i=0,1,..., | (1.29) |
Где
 | (1.30) |
 , | (1.31) |
 , | (1.32) |
 . | (1.33) |
Следствие 1.
Если АТ=А>0, то для метода простой итерации
 | (1.34) |
при
 | (1.35) |
справедлива оценка
 , | (1.36) |
где
 | (1.37) |
 | (1.38) |
Следствие 2.
Для симметричной матрицы А и
 | (1.39) |
справедливо равенство
 , | (1.40) |
где
,. В приложениях часто встречаются задачи с плохо обусловленной матрицей А, когда отношение 
велико. В этом случае число r0 близко к единице, и метод простой итерации сходится медленно.