Приближенное решение интегрального уравнения (стр. 2 из 4)

Решив эту систему относительно

, получим

(15)

При i=n-2,…,1 используем формулу (12)

вычисляем из второго уравнения системы (10)

(16)

В результате вычислений получим таблицу:

Таблица №1

Прямой ход									Обратный ход
i	xi	pi	qi	fi	mi	ki	ci	di	yi
0	0	0	0	8.1548	-2	1	-1.125	0.081548	3.049606
1	0.1	-0.2	0.03	6.9025	-2.02	1.0203	-1.14658	0.162629	2.744645
2	0.2	-0.4	0.12	5.8327	-2.04	1.0412	-1.18177	0.252476	2.521233
3	0.3	-0.6	0.27	4.9907	-2.06	1.0627	-1.24358	0.366984	2.361553
4	0.4	-0.8	0.48	4.3818	-2.08	1.0848	-1.36806	0.538893	2.250789
5	0.5	-1	0.75	4.0188	-2.1	1.1075	-1.70977	0.856677	2.176909
6	0.6	-1.2	1.08	3.9098	-2.12	1.1308	-5.35913	1.695401	2.130132
7	0.7	-1.4	1.47	4.0581	-2.14	1.1547	0.247024	10.53205	2.10254
8	0.8	-1.6	1.92	4.4615	-2.16	1.1792	-0.40795	-3.02327	2.087729
9	0.9	-1.8	2.43	5.1129	-2.18	1.2043	-0.59217	-1.43418	2.080518
10	1	-2	3	6	-2.2	1.23	-0.67952	-0.98461	2.076684

2. Пусть

В результате вычислений по формулам (9)-(16) получим таблицу:

Таблица №2

Прямой ход									Обратный ход
i	xi	pi	qi	fi	mi	ki	ci	di	yi
0	0	0	0	8.1548	-2	1	-1.125	0.081548	2.048941
1	0.2	-0.4	0.12	5.8327	-2.04	1.0412	-1.15121	0.156074	1.844047
2	0.4	-0.8	0.48	4.3818	-2.08	1.0848	-1.20313	0.247519	1.720701
3	0.6	-1.2	1.08	3.9098	-2.12	1.1308	-1.31665	0.407622	1.650761
4	0.8	-1.6	1.92	4.4615	-2.16	1.1792	-1.64636	0.835965	1.619574
5	1	-2	3	6	-2.2	1.23	-5.71492	5.936293	1.63769

Рис.3-

- решение, полученное с помощью метода прогонки с использованием конечно-разностных отношений (h=0,1), - решение, полученное с помощью метода прогонки с использованием конечно разностных отношений (h=0,2) , - точное решение

II. Методы Галеркина, Ритца и коллокаций

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка и его граничные условия

(17)

1. Метод Галеркина

Введем операторы

На отрезке [a, b] выберем систему базисных функций

Проверим систему на ортогональность

Выбранная система базисных функций является ортогональной и удовлетворяет условию выбора конечной системы базисных функций

Решение краевой задачи (17) ищется в виде

1. Рассмотрим решение задачи (17) с двумя базисными функциями:

Тогда решение

Рассмотрим выражение

(18)

Выражение (18) называется невязкой. Для задачи (1) с двумя базисными функциями

с_i выбирается таким образом, чтобы

Так как

ортогональна ко всем базисным функциям, то

Тогда решение задачи (17)

2. Рассмотрим решение задачи (17) с тремя базисными функциями

Тогда решение

Невязка примет вид

Коэффициенты с₁ и с₂ будем искать из системы

Тогда решение задачи (17)

2. Метод коллокации

Введем операторы

На отрезке [a, b] выберем систему базисных функций

Будем искать решение задачи (17) в виде

1. Рассмотрим решение задачи (17) с двумя базисными функциями

Тогда решение

Составим невязку

На отрезке [-π, π] выберем за точку коллокации 0.

Таким образом, решение задачи (17)

.

2. Рассмотрим решение задачи (17) с тремя базисными функциями

Тогда решение

Составим невязку

На отрезке [-π, π] выберем две точки коллокации: 0 и

. Составим систему уравнений

Таким образом, решение задачи (17)

3. Метод Ритца

Составим функционал по формуле

(19)

На отрезке [a, b] выберем систему базисных функций

Будем искать решение задачи (17) в виде

Подставим

в (19)

Составим систему уравнений относительно с₁, с₂

Таким образом, решение задачи (17)

Рис.4- у1(х)-решение, полученное с помощью метода Галеркина (две базисные функции), у2(х)-решение, полученное с помощью метода коллокации (две базисные функции)

Рис.4-у2(х)- решение, полученное с помощью метода Галеркина (три базисные функции), у4(х)- решение, полученное с помощью метода коллокации (три базисные функции), у5(х)- решение, полученное с помощью метода Ритца (три базисные функции)

Замечание: найти решение методом Ритца для двух базисных функций не удалось, т.к. функция Ф(с₁) не квадратична относительно переменной с₁ и не удовлетворяет условию существования экстремума