Приближенное решение интегрального уравнения (стр. 3 из 4)
III.Решение задачи Дирихле
Применяя метод сеток с шагом
, найти решение задачи Дирихле в квадрате с вершинами А(0,0), В(0,1), С(1,1), D(1,0).
(20)1. Метод Либмана
Найдем значения функции
в каждом узле:На АВ
На ВС
На СD
На АD
Запишем формулу метода последовательных приближений
Пусть
, тогда получим
Таблица №3
| i | u1,1 | u1,2 | u2,1 | u2,2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2,5 | 11,4952 | 7,5 | 6,4952 |
| 2 | 7,2488 | 13,744 | 9,7488 | 8,744 |
| 3 | 8,3732 | 15,4934 | 11,4982 | 10,4934 |
| 4 | 9,2479 | 16,21185 | 12,21665 | 11,21185 |
| 5 | 9,607125 | 16,61014 | 12,61494 | 11,61014 |
| 6 | 9,806269 | 16,79952 | 12,80432 | 11,79952 |
| 7 | 9,900958 | 16,89665 | 12,90145 | 11,89665 |
2. Метод Гаусса
Для нахождения точного решения задачи (20) используем метод Гаусса. Для этого решим систему
линейный дифференциальный уравнение
(20*)Введем замену
Тогда (20*) перепишем в виде
Решая систему, получим
Таким образом, получим точное решение задачи (20)
IV. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОТРЕЗКЕ
Пусть дано уравнение теплопроводности и его граничные условия
(21)Решим задачу (21), применяя метод сеток для уравнений параболического типа.
1. Пусть
, тогда l=0,02- шаг по оси t, а h=0,2- шаг по оси x. Решение будем искать в виде 
(22)где
(23)Получим таблицу:
Таблица №4
| j | tj/xi | 0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0,04 | 0,16 | 0,36 | 0,64 | 1 |
| 1 | 0,02 | 0 | 0,08 | 0,2 | 0,4 | 0,68 | 0,72 |
| 2 | 0,04 | 0 | 0,1 | 0,24 | 0,44 | 0,56 | 0,74 |
| 3 | 0,06 | 0 | 0,12 | 0,27 | 0,4 | 0,59 | 0,61 |
| 4 | 0,08 | 0 | 0,135 | 0,26 | 0,43 | 0,505 | 0,63 |
| 5 | 0,1 | 0 | 0,13 | 0,2825 | 0,3825 | 0,53 | 0,5375 |
| j | tj/xi | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2 | |
| 0 | 0 | 0,8 | 0,6 | 0,4 | 0,2 | 0 | |
| 1 | 0,02 | 0,8 | 0,6 | 0,4 | 0,2 | 0 | |
| 2 | 0,04 | 0,66 | 0,6 | 0,4 | 0,2 | 0 | |
| 3 | 0,06 | 0,67 | 0,53 | 0,4 | 0,2 | 0 | |
| 4 | 0,08 | 0,57 | 0,535 | 0,365 | 0,2 | 0 | |
| 5 | 0,1 | 0,5825 | 0,4675 | 0,3675 | 0,1825 | 0 |
2. Пусть
, тогда l=0,015- шаг по оси t, а h=0,3- шаг по оси x. Решение в виде (22) будем искать по формуле 
(24)В результате получим таблицу
Таблица №5
| j | tj/xi | 0 | 0,3 | 0,6 | 0,9 | 1,2 | 1,5 | 1,8 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0,09 | 0,36 | 0,81 | 0,8 | 0,5 | 0,2 | 0 |
| 1 | 0,015 | 0 | 0,12 | 0,39 | 0,733333 | 0,751667 | 0,5 | 0,216667 | 0 |
| 2 | 0,03 | 0 | 0,145 | 0,402222 | 0,679167 | 0,706667 | 0,494722 | 0,227778 | 0 |
| 3 | 0,045 | 0 | 0,163704 | 0,405509 | 0,637593 | 0,666759 | 0,485556 | 0,234306 | 0 |
| 4 | 0,06 | 0 | 0,176721 | 0,403889 | 0,603773 | 0,631698 | 0,473881 | 0,23713 | 0 |
| 5 | 0,075 | 0 | 0,185129 | 0,399342 | 0,575113 | 0,600741 | 0,460725 | 0,237067 | 0 |
Рис.5- Решение, полученное с помощью метода сеток при
Рис.6- Решение, полученное с помощью метода сеток при
Рис.7- График точного решения, полученного аналитически
V. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА ОТРЕЗКЕ
Пусть дано волновое уравнение и его граничные условия
(25)Решим задачу (25), применяя метод сеток для уравнений гиперболического типа.
Заменим производные в (25)
При
(26)Пусть
, тогда по формуле (26) получимТаблица №6
| j | tj/xi | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 |
| 0 | 0 | 0 | -0,14 | -0,26 | -0,36 | -0,44 | -0,5 | -0,54 | -0,56 |
| 1 | 0,1 | 0 | -0,14 | -0,26 | -0,36 | -0,44 | -0,5 | -0,54 | -0,56 |
| 2 | 0,2 | 0 | -0,12 | -0,24 | -0,34 | -0,42 | -0,48 | -0,52 | -0,54 |
| 3 | 0,3 | 0 | -0,1 | -0,2 | -0,3 | -0,38 | -0,44 | -0,48 | -0,5 |
| 4 | 0,4 | 0 | -0,08 | -0,16 | -0,24 | -0,32 | -0,38 | -0,42 | -0,44 |
| 5 | 0,5 | 0 | -0,06 | -0,12 | -0,18 | -0,24 | -0,3 | -0,34 | -0,36 |
| j | tj/xi | 0,8 | 0,9 | 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 |
| 0 | 0 | -0,56 | -0,54 | -0,5 | -0,44 | -0,36 | -0,26 | -0,14 | 0 |
| 1 | 0,1 | -0,56 | -0,54 | -0,5 | -0,44 | -0,36 | -0,26 | -0,14 | 0 |
| 2 | 0,2 | -0,54 | -0,52 | -0,48 | -0,42 | -0,34 | -0,24 | -0,12 | 0 |
| 3 | 0,3 | -0,5 | -0,48 | -0,44 | -0,38 | -0,3 | -0,2 | -0,1 | 0 |
| 4 | 0,4 | -0,44 | -0,42 | -0,38 | -0,32 | -0,24 | -0,16 | -0,08 | 0 |
| 5 | 0,5 | -0,36 | -0,34 | -0,3 | -0,24 | -0,18 | -0,12 | -0,06 | 0 |
Рис.7- Решение волнового уравнения методом сеток при
Рис.8- График точного решения, полученного аналитически
VI. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Пусть дано интегральное уравнение
(27)Будем искать решение уравнения (27) с помощью метода вырожденных ядер.
Представим ядро
в виде ряда 
Отбросим члены старше пятого порядка
