Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач (стр. 2 из 2)
4X+4Y+0·U1+0·U2+0·U3→max
4X+4Y+U1=32
6X+18Y+U2=108
12X+8Y+U3=84
Процесс перебора вершин многогранника допустимых решений в поисках оптимального отразим в следующей симплекс-таблице:
a22-разрешающий элемент
a11-разрешающий элемент
Т.к. в индексной строке мы достигли положительного (все элементы положительны), следовательно находимся в оптимальном решении.
В итоге получаем:
X=3; Y=5; U3=8 - базисные переменные
U1=0; U2=0 - свободные переменные
Fmax = 42 – достигнута максимальная прибыл
Задание № 3
Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x)=
на отрезке [0;2].Теория:
Определение. Функциональный ряд вида
называется тригонометрическим рядом или рядом Фурье. Постоянные числа a0, an, и bn (n=1,2,…) называются коэффициентами тригонометрического ряда или коэффициентами Фурье.
Если дана периодическая функция f(x) с периодом 2π, то целью применения ряда Фурье является отыскание тригонометрического ряда, сходящегося к данной функции. Таким образом, мы отыскиваем функцию, являющуюся суммой ряда в интервале (-π, π):
.При этом коэффициенты Фурье находят по формулам:
, 
, 
Ряд Фурье для функции с периодом 2l.
Пусть f(x) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2π. Тогда при разложении ее в ряд Фурье получим формулу:
,где коэффициенты a0, an, и bn вычисляются по формулам:
, 
О разложении в ряд Фурье непериодической функции.
Пусть на некотором отрезке
задана кусочнo-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию 
с периодом 
, совпадающую с функцией f(x) на отрезке . Разложим функцию в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f(x), т.е. мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье на отрезке .Рассмотрим, далее, следующий важный случай. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0,l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [-l,0] (сохраняя кусочно монотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы продолжим определение функции f(x) при
так: f(x) = 
, то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. (Функция f(x) “продолжена нечетным образом”).Решение:
При разложении ряд Фурье по синусам функцию на интервале [0;2] продолжаем нечётным образом.
Доопределим функцию четным образом (симметрично относительно oy).
Найдем коэффициенты Фурье:
а0=
аn=0
bn=
Ответ : f(x)=
a) Нарисовать график функции f(x) на отрезке [0;2].
b) Написать к чему сходится этот ряд Фурье в точках отрезка [0;2].
Теория: Определение. Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирикле на сегменте [a, b], если:
1.функция непрерывна на сегменте [a, b] или же имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода;
2.функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].
Теорема Дирикле: Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2π удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирикле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f (x) сумма ряда S (x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x→x0 слева и справа, т.е.:
S(x) = 0,5[f(x0 + 0)+f(x0 - 0)]
Во всех точках непрерывности функции f(x) ряд сходится к значениям функции в этих точках, т.е. S(x)=f(x) на интервале [0,
; в точке x=0 (точка разрыва функции) ряд сходится к 0, т.к. 
Ответ: S(0)=0
c) Нарисовать график суммы ряда на отрезке [-2;6] :
1) для четного
2) для нечетного
c) Пользуясь равенством Парсеваля, найти сумму:
Теория: Для функции f(x), такой, что f2(x)ÎL(-p;p), справедливо равенство Парсеваля:
Решение: Период рассматриваемой функции равен p, поэтому поменяем пределы интегрирования с [0;2p] на [0;p], а коэффициент 2 вынесем, тогда:
Ответ:
