Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач (стр. 1 из 2)

Федеральное Агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский Государственный Институт Стали и Сплавов

(технологический университет)

Кафедра экономики и менеджмента

Курсовая работа по высшей математике на тему:

«Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач».

Выполнила:

Рашидуллина А.Г.

группа МЭ-07-3

Проверил(а):

Дьяченко О. Н.

Москва

2005

Задание № 1

экстремум непериодическая функция фурье

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x,y)= y² +x²+6x+ -4y в замкнутой ограниченной области D: x²+y²

4; x+y 2.

Теория:

I). Если из уравнения связи найти y как функция x, т.е f(x, y(x)) тогда задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной на заданном отрезке.

Находим значение функции в точках, в которых выполнено необходимое условие наличия экстремумов функции (точки попадания в данную область)

Из найденных значениях выбираем наибольшее и наименьшее значения.

(x₀,y₀) – точка условного экстремума f(x;y)

Для максимума:

1. (x₀;y₀) – удовлетворяет уравнению связи

2. Существует такая окрестность точки (x₀;y₀), что для любых (х;у), таких что

(Аналогично для минимума).

II). Нахождение точек в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума функции методом множителей Лагранжа.

z=f(x;y),

.

1. Составляем функцию 3-х переменных

2. Для функции F находим точки в которых выполнено необходимое условие обычного экстремума:

Решение.

1). Находим точки в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума.

Точка (-3, 2)

(т.е не принадлежит области определения).

2). Находим наибольшее и наименьшее значения на границе области.

а)

б). Находим точки в которых выполнено необходимое условие условного экстремума с помощью теоремы Лагранжа.

.

x	y	z
0	2	-4
2	0	16
		-1,5
		-10,4

Ответ:

z_наиб.(2;0)=16.

Задание № 2

Завод производит два вида продукции : А и В. Единица продукции вида А требует 2 часа на обработку деталей, 4 часов на сборку и 82 часов на упаковку. А единица продукции типа В требует соответственно 3, 12 и 6 часов. Оборудование завода позволяет потратить на эти операции соответственно 48, 168 и 144. Единица продукции первого вида даёт прибыль в размере $11, а второго - $10. Требуется составить план выпуска продукции, обеспечивающий заводу максимальную прибыль. Решить задачу двумя способами ( геометрическим методом и симплексным методом).

На обработку деталей,час	На сборку,час	На упаковку, час	Прибыль с ед. продукции
Продукция типа А	2	4	8	11
Продукция типа В	3	12	6	10
Завод позволяет,час	48	168	144

Геометрический метод:

X-количество продукции типа А

Y-количество продукции типа В

Тогда 11X+10Y – общая выручка, максимизируя ее, получаем целевую функцию.

11X+10Y

max - целевая функция, обеспечивающая заводу максимальную прибыль.

Условия ограниченности времени:

2X+3Y

48,

4X+12Y

168,

8X+6Y

114,

X>0, Y>0

Рассмотрим вначале геометрический метод. В общем случае, он применим лишь в том случае, если ЗЛП содержит не более 2-х переменных величин (не считая самого значения целевой функции). В некоторых случаях ЗЛП с числом переменных более двух может быть сведена к ЗЛП с двумя переменными, однако здесь мы не будем касаться этих возможностей. Суть геометрического метода заключается в следующем:

1) На плоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится система ограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически систему неравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеет решения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он может быть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимых решения ЗЛП.

2) Находим градиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.

3) Строим так называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либо константе. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.

4) Возможны два варианта:

1) Целевая функция на максимум: перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет единственное оптимальное решение. Тогда последняя точка, лежащая на границе области допустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлять собой оптимальное решение.

2) Целевая функция на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линию уровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту.

2X+3Y=4, (1)

4X+12Y=168, (2)

8X+6Y=114. (3)

В данном случае многоугольник ODABC представляет собой область допустимых решений ЗЛП. Как можно видеть из рисунка оптимальным решением ЛЗП является точка A с координатами (12;8).

На пересечении графиков (1) и (3) достигается максимальное значение функции:

Решаем систему из (1) и (3) уравнения

Получаем: X=12; Y=8.

Подставим в целевую функцию:

11*12+10*8=132+ 80=242.

Т.е. максимальная прибыль в 212$ будет достигаться при следующем плане выпуска 12 единиц товара А и 8 единиц товара В.

Симплексный метод:

Однако ЗЛП с двумя переменными на практике встречаются редко. В реальных задачах их число может доходить до сотен. Мощным инструментом для решения подобных задач является симплекс-метод. Он, в отличие от геометрического, является полностью аналитическим, что позволяет использовать его в ЗЛП с практически любым конечным числом переменных. Здесь мы не будем останавливаться подробно на симплекс-методе. Укажем лишь основные его черты. Для его использования все ограничения задачи должны представлять собой равенства. Чтобы добиться этого обычно вводят дополнительные переменные. Симплекс-метод основан на том, что оптимальным решением ЗЛП является какая-либо вершина многогранника допустимых решений ЗЛП. Вначале выбирается произвольно любая вершина многогранника (иногда это может быть сопряжено с определенными трудностями). Затем осуществляется переход к другим вершинам до тех пор, пока не обнаруживается оптимальная. Необходимо отметить, что главной отличительной чертой симплекс-метода по сравнению с простым перебором является то, что переход к следующей вершине осуществляется в направлении роста (или падения) целевой функции. Это позволяет значительно ускорить процесс поиска оптимального решения. Решим рассмотренную ранее задачу симплекс-методом.

Решение:

11X+10Y → max

2X+3Y 48, + U₁

4X+12Y

168,+ U₂

8X+6Y

114 + U₃

X(11)	Y(10)	U1(0)	U2(0)	U3(0)	F(0)
U1(0)	2	3	1	0	0	48
U2(0)	4	12	0	1	0	168
U3(0)	8	6	0	0	1	144
Инд.строка	0	0	0	0
U1(0)	08.мар	0	1	-0,2222	0	8
Y(6)	01.мар	1	0	янв.18	0	6
U3(0)	28.мар	0	0	-0,4444	1	36
Инд.строка	-2	0	0	01.мар	0	36
X(4)	1	0	03.авг	-0,0833	0	3
Y(6)	0	1	-0,125	01.дек	0	5
U3(0)	0	0	-9,3333	01.мар	1	8
Инд.строка	0	0	03.апр	01.июн	0	42

При введении дополнительных переменных получаем: