Элементы общей топологии (стр. 5 из 9)

Доказательство. Рассмотрим произвольное подмножество

. Пусть – непустое подмножество , открытое и замкнутое в . Тогда

= ,

где

открыто в , а замкнуто в Х, т.е. для некоторого , а для некоторого . Так как

,

то для любого

выполнены неравенства и .

Действительно, если найдется значение

, то . Аналогично, если найдется значение , то .

Итак,

и , откуда следует, что связно.

1.3 Топологические преобразования топологических пространств

1.3.1 Непрерывные отображения

Пусть даны топологические пространства (Х, Ф), (У, W) и отображение

: X® У.

Определение 1. Отображение

: X® У называется непрерывным в точке х₀ Î Х, если для каждой окрестности V точки f(x₀) существует такая окрестность Uточки х₀, что (U) ÌV.

Определение 2. Отображение

: X® У называется непрерывным на множестве Н Ì Х, если непрерывно в каждой его точке.

Если Н = Х, то говорят, что

непрерывно на Х.

Определение 3. Если

: X® У, В Ì У, то множество всех точек х₀ Î Х, для каждой из которых имеем (x₀) Î В называется прообразом множества В, и обозначается ^-1(B), причем имеет место

( ^-1(B)) ÌB.

Теорема 1. Для того, чтобы отображение

: X® У было непрерывным на Х, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого открытого (замкнутого) множества был открытым (замкнутым) множеством.

Доказательство. 1. Необходимость.

Пусть

: Х ® У непрерывно, V открытое множество в У, а

U =

^-1(V).

Докажем, что U – открытое множество в Х. Пусть

– любая точка из U и b = ( ). Множество V является окрестностью точки b. Так как – непрерывно, то найдётся окрестностью U точки , что (U ) ÌV.

Очевидно,

U

Ì ^-1(V) = U.

Так как U =

U , то U – открытое множество.

Достаточность. Возьмём любую точку

Î Х и пусть b = ( ). Если V – произвольная окрестность точки b, то U = ^-1(V) открытое множество и является окрестностью точки . Поскольку (U) ÌV, то – непрерывно в точке , что требовалось доказать.

Для замкнутых множеств теорема доказывается переходом к дополнительным множествам.

Замечание. При непрерывном отображении образ замкнутого

(открытого) множества может быть не замкнутым (не открытым) множеством.

Теорема 2. Пусть X, Y, Z – топологические пространства.

Если отображения f

и g непрерывны, то непрерывна и их композиция:

g×f: Х ®Z.

Доказательство. Пусть W открытое множество пространства Z. Так как g – непрерывно, то по предыдущей теореме

G^-1(W) = V – открыто в У.

Тогда аналогично, U = f^-1(V) – открыто в Х.

Но U = f^-1 (g^-1(W)) = (g×f) ^-1(W) – прообраз W.

Теорема доказана.

Пример непрерывного отображения

Рассмотрим плоскость П и прямую ℓ Ì П с естественными топологиями. Докажем, что ортогональное проектирование

: П ® ℓ является непрерывным отображением.

Действительно, пусть для произвольной точки А Î П

(А) = А_0.

Пусть V–

-окрестность точки А₀, то есть V – интервал.

В точке А рассмотрим открытый круг радиуса d =

, то есть окрестность U точки А. Очевидно, (U) ÌV и, следовательно,

– является непрерывным отображением в точке А.

Так как А – произвольная точка плоскости П, то

– непрерывное отображение.

1.3.2 Топологические отображения

Определение 1. Пусть даны топологические пространства Х и У. Отображение

: Х ® У называется топологическим (гомеоморфизмом), если – биекция и, при этом, отображения и ^-1 – непрерывные.

Свойство 1. Всякое тождественное отображение е: Х ® Х является гомеоморфизмом.

Доказательство непосредственно вытекает из определения.

Свойство 2. Если X, У, Z – топологические пространства, а отображения

: Х ® У,