Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций (стр. 3 из 4)

(5)

При интегрировании вдоль периметра параллелограмма сумма

приводится посредством перемены во втором интеграле z на

и

использования периодичности к следующему выражению

так как

,

то число в скобке есть нуль или вида

где

- целое. Таким образом, сумма двух рассматриваемых интегралов вообще равна Аналогично сумма двух остальных интегралов

приводится посредством того же рассуждения к

Возвращаясь к формуле (5), перепишем ее в виде

что и требовалось доказать.

Примечание - применяя доказанную теорему к функции

f (z) -

,

где

- произвольное комплексное число, мы видим, что сумма корней уравнения

расположенных в параллелограмме периодов, конгруэнтна с суммой полюсов функции f (z), лежащих в этом параллелограмме, относительно ее первоначальных периодов 2

и 2 .

1.4 Эллиптические функции второго порядка

1. Если эллиптическая функция f (z) с периодами 2

и 2 удовлетворяет соотношению

(6)

где К - некоторое постоянное, то числа

будут нули или полюсы функции f (z). В самом деле, полагая в соотношении (6)

получим:

,

откуда следует, что

есть нули или полюсы функции f (z). Числа

, ', + ' и им конгруэнтные называются полупериодами.

Предполагая К = 0, т. е. что f (z) удовлетворяет соотношению

мы будем иметь нечетную эллиптическую функцию.

В силу доказанного для такой функции точки zравной нулю, а следовательно, все периоды, равно, как все полупериоды, будут нулями или полюсами.

2. Если эллиптическая функция f (z) с периодами 2

и 2 ' удовлетворяет соотношению

f(z) = f(K-z), (7)

где К - некоторое постоянное, то числа

будут нули или полюсы производной f'(z). Действительно, дифференцируя соотношение (7), мы видим, что производная f'(z) удовлетворяет соотношению вида (6), откуда и следует наше утверждение вследствие утверждения 1.

В частности, если К равно нулю, т. е. если f(z) - четная функция, то ее производная будет нечетной и будет иметь нули или полюсы в точках, изображающих периоды и полупериоды. Приложим теперь эти утверждения к эллиптическим функциям второго порядка.

Обозначим через

и полюсы такой функции, расположенные в параллелограмме периодов. Пусть сначала неравно , т. е. оба полюса простые. В силу теоремы 5, если

то

,

откуда вытекает соотношение вида (7):

следовательно, по утверждению 1 точки

(8)

будут нулями или полюсами производной f'(z). С другой стороны, мы знаем полюсы производной f'(z); она имеет в точках

и полюсы второго порядка. Так как, очевидно, точки и не будут конгруэнтными с точками (8), то производная f'(z) должна обращаться в нуль во всех четырех точках (8). Образуем теперь функцию

которая будет эллиптической с теми же периодами, что и f(z), восьмого порядка; эта функция имеет два полюса четвертого порядка в точках

и и нули второго порядка в четырех точках (8).

Последнее заключение сделано потому, что в точках (8) функция F (z) обращается в нуль вместе со своей производной. Заметив, что

есть эллиптическая функция с теми же периодами, что и F (z), того же порядка и с теми же нулями и полюсами, мы на основании теоремы 2 (следствие 2) заключаем:

Откуда

(9)

Полагая

Найдем

(10)

где R (

) - полином 4-й степени относительно

. Таким образом, эллиптическая функция второго порядка

может быть рассмотрена как обращение эллиптического интеграла первого рода (10).

Пусть теперь

равно , т. е. эллиптическая функция второго порядка , имеет в точке двойной полюс. В этом случае удовлетворяет соотношению

точка

будет полюс третьего порядка для , ее нули расположены в точках

Образуем функцию

которая будет эллиптической с теми же периодами, что и

, шестого порядка; эта функция имеет полюс шестого порядка в точке и нули второго порядка в точках , , . Последнее заключение сделано потому, что в точках , , функция Ф (z) обращается в нуль вместе со своей производной.