Численные методы анализа (стр. 2 из 5)

= -0,427

= 0,602

= 0,273

= 0,330

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽⁴⁾-x₁⁽³⁾| = |-0,427+0,427| = 0,000

ε – да,

|x₂⁽⁴⁾-x₂⁽³⁾| = |0,602–0,580| = 0,022

ε – нет,

|x₃⁽⁴⁾-x₃⁽³⁾| = |0,273–0,270| = 0,003

ε – нет,

|x₄⁽⁴⁾-x₄⁽³⁾| = |0,330–0,336| = 0,006

ε – нет.

Выполним пятую итерацию.

Подставим значения, полученные в четвертом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятом приближении.

= -0,433

= 0,598

= 0,270

= 0,326

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽⁵⁾-x₁⁽⁴⁾| = |-0,433+0,427| = 0,006

ε – нет,

|x₂⁽⁵⁾-x₂⁽⁴⁾| = |0,598–0,602| = 0,004

ε – нет,

|x₃⁽⁵⁾-x₃⁽⁴⁾| = |0,270–0,273| = 0,003

ε – нет,

|x₄⁽⁵⁾-x₄⁽⁴⁾| = |0,326–0,330| = 0,004

ε – нет.

Выполним шестую итерацию.

Подставим значения, полученные в пятом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при шестом приближении.

= -0,431

= 0,597

= 0,269

= 0,327

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽⁶⁾-x₁⁽⁵⁾| = |-0,431+0,433| = 0,002

ε – нет,

|x₂⁽⁶⁾-x₂⁽⁵⁾| = |0,597–0,598| = 0,001

ε – да,

|x₃⁽⁶⁾-x₃⁽⁵⁾| = |0,269–0,270| = 0,001

ε – да,

|x₄⁽⁶⁾-x₄⁽⁵⁾| = |0,327–0,326| = 0,001

ε – да.

Выполним седьмую итерацию.

Подставим значения, полученные в шестом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при седьмом приближении.

= -0,431

= 0,598

= 0,269

= 0,327

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽⁷⁾-x₁⁽⁶⁾| = |-0,431+0,431| = 0,000

ε – да,

|x₂⁽⁷⁾-x₂⁽⁶⁾| = |0,598–0,597| = 0,001

ε – да,

|x₃⁽⁷⁾-x₃⁽⁶⁾| = |0,269–0,269| = 0,000

ε – да,

|x₄⁽⁷⁾-x₄⁽⁶⁾| = |0,327–0,327| = 0,000

ε – да.

Необходимая точность достигается в седьмой итерации.

Ответ: х₁ = -0,431,

х₂ = 0,598,

х₃ = 0,269,

х₄ = 0,327.

1.4 Метод Зейделя

Условия сходимости было проверено выше, оно выполняется.

Точность вычисления ε

0,001.

Примем за нулевое приближение неизвестных значений, равные нулю.

x₁⁽⁰⁾ = x₂⁽⁰⁾ = x₃⁽⁰⁾ = x₄⁽⁰⁾ = 0;

Подставим полученные значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.

= -0,231

= 0,517

= 0,223

= 0,288

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽¹⁾-x₁⁽⁰⁾| = |-0,231–0| = 0,231

ε – нет

|x₂⁽¹⁾-x₂⁽⁰⁾| = |0,517–0| = 0,517

ε – нет

|x₃⁽¹⁾-x₃⁽⁰⁾| = |0,223–0| = 0,223

ε – нет

|x₄⁽¹⁾-x₄⁽⁰⁾| = |0,288–0| = 0,288

ε – нет

Выполним вторую итерацию.

Подставим значения, полученные в первом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при втором приближении.

= -0,402

= 0,593

= 0,264

= 0,320

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽²⁾-x₁⁽¹⁾| = |-0,402+0,231| = 0,171

ε – нет,

|x₂⁽²⁾-x₂⁽¹⁾| = |0,593–0,517| = 0,076

ε – нет,

|x₃⁽²⁾-x₃⁽¹⁾| = |0,264–0,223| = 0,041

ε – нет,

|x₄⁽²⁾-x₄⁽¹⁾| = |0,320–0,288| = 0,032

ε – нет.

Выполним третью итерацию.

Подставим значения, полученные во втором приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьем приближении.

= -0,429

= 0,596

= 0,268

= 0,326

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽³⁾-x₁⁽²⁾| = |-0,429+0,402| = 0,027

ε – нет,

|x₂⁽³⁾-x₂⁽²⁾| = |0,596–0,593| = 0,003

ε – нет,

|x₃⁽³⁾-x₃⁽²⁾| = |0,268–0,264| = 0,004

ε – нет,

|x₄⁽³⁾-x₄⁽²⁾| = |0,326–0,320| = 0,006

ε – нет.

Выполним четвёртую итерацию.

Подставим значения, полученные в третьем приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвёртом приближении.

= -0,430

= 0,598

= 0,269

= 0,327

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽⁴⁾-x₁⁽³⁾| = |-0,430+0,429| = 0,01

ε – да,

|x₂⁽⁴⁾-x₂⁽³⁾| = |0,598–0,596| = 0,002

ε – нет,

|x₃⁽⁴⁾-x₃⁽³⁾| = |0,269–0,268| = 0,001

ε – да,

|x₄⁽⁴⁾-x₄⁽³⁾| = |0,327–0,326| = 0,001

ε – да.

Выполним пятую итерацию.

Подставим значения, полученные в четвёртом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятом приближении.

= -0,431