Численные методы анализа (стр. 1 из 5)

1. Численные методы решения систем линейных уравнений.

1.1 Заданная система

1.2 Метод Гаусса

(1.1.)

Прямой ход

Нормируем первое уравнение системы, разделив все члены уравнения на его первый коэффициент при

:

(1.2.)

Умножим нормированное уравнение (1.2) на коэффициенты при х₁ оставшихся уравнений системы (1.1).

(1.3.)

(1.4.)

(1.5.)

Вычтем полученные уравнения (1.3.), (1.4.), (1.5.) из второго, третьего и четвёртого уравнения системы (1.1.) соответственно, чтобы исключить из системы х₁:

(1.6.)

(1.7.)

(1.8.)

Получим новую систему уравнений:

(1.9.)

Рассмотрим систему уравнений (1.9).

Решим систему уравнений без первого уравнения системы (1.9.).

(1.10.)

Нормируем первое уравнение системы (1.10.), разделив все члены уравнения на коэффициент при

:

(1.11.)

Умножаем нормированное уравнение (1.11.) на коэффициент при х₂ оставшихся уравнений:

(1.12.)

(1.13.)

Вычтем полученные уравнения (1.12.), (1.13.) из второго и третьего уравнения системы (1.10.) соответственно, чтобы исключить из системы х₂:

(1.14.)

(1.15.)

Получим новую систему уравнений:

(1.16.)

Рассмотрим систему (1.16) без первого уравнения:

(1.17.)

Нормируем первое уравнение системы (1.17.).

(1.18.)

Умножаем полученное уравнение (1.18.) на коэффициент при х₄ второго уравнения системы (1.17.):

(1.19.)

Вычтем полученное уравнение (1.19.) из второго уравнения системы (1.18.):

(1.20.)

Получим новую систему линейных уравнений:

(1.21.)

Рассмотрим последнее уравнение системы (1.21.).

Нормируем данное уравнение:

(1.22.)

В результате выполненных действий система (1.1.) приведена к треугольному виду:

(1.23.)

Обратный ход

x₄ = 0,327;

Найдём

из третьего уравнения системы (1.23.):

x₃ = 0,210+0,181·0,327=0,269;

Найдём

из второго уравнения системы (1.23.):

x₂ = 0,525–0,346·0,269+0,508·0,327 = 0,598;

Найдём

из первого уравнения системы (1.23.):

x₁ = -0,231–0,231·0,598–0,231·0,269+0·0,327 = -0,431

Решением системы линейных уравнений являются значения неизвестных:

Ответ:x₁ = -0,431;

x₂ = 0,598;

x₃ = 0,269;

x₄ = 0,327.

1.3 Метод простой итерации

Выполним проверку на сходимость

|a₁₁|>|a₁₂|+|a₁₃|+|a₁₄| → |13|>|3|+|3|+|0|

|a₂₂|>|a₂₁|+|a₂₃|+|a₂₄| → |14|>|1|+|5|+|-7|

|a₃₃|>|a₃₁|+|a₃₂|+|a₃₄| → |18|>|-2|+|1|+|-4|

|a₄₄|>|a₄₁|+|a₄₂|+|a₄₃| → |14|>|3|+|3|+|-4|

Условия сходимости выполняются, следовательно, решение может быть найдено с определенной точностью за некоторое число итераций.

Вычислим значения неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с точностью ε

0,001.

Примем за нулевое приближение неизвестных значения, равные нулю, т.е.

x₁⁽⁰⁾ = 0; x₂⁽⁰⁾ = 0; x₃⁽⁰⁾ = 0; x₄⁽⁰⁾ = 0;

Подставим полученные значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.

= -0,231

= 0,500

= 0,278

= 0,286

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽¹⁾-x₁⁽⁰⁾| = |-0,231–0| = 0,231

ε – нет

|x₂⁽¹⁾-x₂⁽⁰⁾| = |0,500–0| = 0,500

ε – нет

|x₃⁽¹⁾-x₃⁽⁰⁾| = |0,278–0| = 0,278

ε – нет

|x₄⁽¹⁾-x₄⁽⁰⁾| = |0,286–0| = 0,286

ε – нет

Выполним вторую итерацию.

Подставим значения неизвестных, полученные в первой итерации, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при втором приближении.

= -0,410

= 0,560

= 0,288

= 0,308

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽²⁾-x₁⁽¹⁾| = |-0,410+0,231| = 0,179

ε – нет,

|x₂⁽²⁾-x₂⁽¹⁾| = |0,560–0,500| = 0,060

ε – нет,

|x₃⁽²⁾-x₃⁽¹⁾| = |0,288–0,278| = 0,010

ε – нет,

|x₄⁽²⁾-x₄⁽¹⁾| = |0,308–0,286| = 0,022

ε – нет.

Выполним третью итерацию.

Подставим значения, полученные во втором приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьем приближении.

= -0,427

= 0,580

= 0,270

= 0,336

Выполним проверку полученных значений:

|x₁⁽³⁾-x₁⁽²⁾| = |-0,427+0,410| = 0,017

ε – нет,

|x₂⁽³⁾-x₂⁽²⁾| = |0,580+0,560| = 0,020

ε – нет,

|x₃⁽³⁾-x₃⁽²⁾| = |0,270–0,288| = 0,018

ε – нет,

|x₄⁽³⁾-x₄⁽²⁾| = |0,336–0,308| = 0,028

ε – нет.

Выполним четвёртую итерацию.

Подставим значения, полученные в третьем приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвертом приближении.