Вейвлет-анализ сигналов и его применение (стр. 2 из 3)
Таким образом, есть связь между масштабом вейвлет и частотой, как показано вейвлет анализом:
Малый масштаб аÞ Сжатый вейвлет Þ быстро изменяющиеся составляющие Þ высокая частота w.
Большой масштаб аÞ Растянутый вейвлет Þ медленно изменяющиеся, крупные черты Þ низкая частота w.
Непрерывное обратное вейвлет-преобразование
Обратное непрерывное вейвлет-преобразование осуществляется по формуле реконструкции во временной области. Одна из форм может быть представлена
где f(t) – восстановленный сигнал, y(t)– вейвлет-функция, С(t, a) – вейвлет коэффициенты, которые являются функцией позиции tи масштаба a, Ky – коэффициент, зависящий от выбора вейвлет-функции,R – область ограничения сигнала.
3. Дискретное вейвлет преобразование
Дискретное вейвлет преобразование одномерного сигнала
Цифровая обработка сигнала требует его дискретизации. Как и в случае преобразования Фурье существует дискретная форма вейвлет преобразования. Выше было отмечена определенная степень свободы в выборе базиса вейвлет преобразования. В данном разделе нами будет использоваться один из самых простых вейлвет базисов – базис Хаара.
Рассмотрим дискретизированный и квантованный сигнал (сигнал 2.1) – рисунок 2.1 (а). Будем постепенно усреднять данный сигнал, усредняя попарно его отсчеты. Таким образом, каждый шаг усреднения будет сокращать разрешение сигнала в 2 раза (т.е. для его представления будет требоваться в два раза меньшее число отсчетов). Однако при таком усреднении мы теряем часть информации о сигнале, для того чтобы восстановить сигнал после усреднения нам потребуется дополнительная информация. Будем сохранять разности между усредненным отсчетом и отсчетами, из которых усредненный отсчет состоит при более высоком разрешении. Данные разности показывают детали сигнала – его флуктуации вокруг среднего при данном уровне разрешения. На рисунке 2.1 детализирующее коэффициенты показаны в правой части рисунков 2.1 (б, в, г, д). Теперь воспользовавшись детализирующими коэффициентами мы сможем восстановить прежнею форму сигнала.
Таким образом, для того чтобы перейти от одного, более низкого уровня разрешения к более детализированному уровню нам требуется знать усредненные отсчеты сигнала и детализирующие коэффициенты.
Заметим, что сигнал 2.1, изображенный на рисунке 2.1 (а), может быть представлен следующим образом –
, где - 
некоторые базисные функции, а 
– координаты сигнала 2.1 в этом базисе. Очевидно, что если мы выберем в качестве 
единичную ступеньку, изображенную на рисунке 2.2 (а), то, сдвигая необходимое число раз, мы сможем представить сигнал 2.1 с помощью суммы таких единичных ступенек. Таким образом, мы ввели базис, в котором мы можем представить сигнал 2.1. Отметим, что поскольку функции , изображенные на рисунке 2.2, не пересекаются между собой, то построенный нами базис является ортогональным. Функции называются масштабирующими функциями. 
Рисунок 2.1 – Усреднение дискретизированного сигнала 2.1
Рисунок 2.2
Теперь необходимо ввести некоторый базис для представления детализирующих коэффициентов. Такой базис был введен Хааром и его базисные функции, названные вейвлетами, изображены на рисунке 2.2 (б).
Рассмотрим теперь процедуру усреднения сигнала, проиллюстрированную на рисунке 2.1, с точки зрения только что введенных базисов. Рассмотрим конкретный сигнал, заданный следующим вектором значений – [9 7 3 5]. С помощью масштабирующей функции Хаара мы можем представить сигнал так, как это изображено на рисунке 2.3.
Рисунок 2.3 – Представление исходного сигнала в базисе Хаара
Проведем процедуру декомпозиции сигнала на две части – усредненный сигнал с двое уменьшенным разрешением и детализирующие коэффициенты. Получим следующий вектор –
= [8 4 | 1 –1], представление которого в базисе Хаара с помощью масштабирующей функции и вейвлетов изображено на рисунке 2.4. 
Рисунок 2.4 – Представление усредненного сигнала в базисе Хаара
Выделим в векторе [8 4 | 1 –1] часть, представляющую усредненный сигнал (первая половина вектора), и проведем относительно неё повторное усреднение и нахождение детализирующих коэффициентов. Получим следующий вектор – [6 | 2 1 –1] представление которого в базисе Хаара с помощью масштабирующей функции и вейвлетов изображено на рисунке 2.5.
Рисунок 2.5 – Представление дважды усредненного сигнала в базисе Хаара
Таким образом, мы представили исходный сигнал с помощью его усредненной части (среднего по сигналу) и детализирующих коэффициентов. Отметим, что размерность исходного и преобразованного векторов совпадают, это говорит о том, что при преобразовании не было потерь информации и, следовательно, возможно полное восстановление исходного вектора. Шаги описанной процедуры ещё раз проиллюстрированы на рисунке 2.6.
Рисунок 2.6 – Представление сигнала в базисе Хаара
Отметим, что если мы будем восстанавливать сигнал после его разложения в базисе Хаара, то мы можем остановить процесс восстановления «на полпути» и получить представление сигнала с заданным разрешением. Другими словами нами получен математический инструмент изменения разрешения сигнала.
Дискретное вейвлет преобразование изображения
Рассмотрим вейвлет преобразование изображения. Общая идея вейвлет преобразования многомерных сигналов заключается в декомпозиции многомерного сигнала до одномерных сигналов и, последующего их вейвлет преобразования с композицией результатов. Существуют два метода такого преобразования – стандартное и нестандартное вейвлет преобразование. Этими методы различаются порядком применения вейвлет преобразования я к декомпозированным одномерным сигналам. Ниже будет рассмотрено нестандартное вейвлет преобразование.
При нестандартном вейвлет преобразовании изображения вейвлет преобразование попеременно применяется то к строкам, то к столбцам изображения. Иллюстрация этого метода представлена на рисунке 2.7.
Рисунок 2.7 – Нестандартное вейвлет преобразование изображения
Отметим, что также как и при дискретном вейвлет преобразовании одномерного сигнала, при вейвлет преобразовании изображения происходит уменьшение разрешения изображения при его усреднении и не происходит потерь информации.
На рисунке 2.7 показан также псевдокод рекурсивного применения DWT к изображению. При этом на каждом шаге преобразования удобно представлять изображение никак матрицу, а как вектор.
4. Применения дискретного вейвлет преобразования
Сжатие изображений. JPEG 2000
Основная идея, используемая при сжатии сигналов с помощью вейвлет преобразования, заключается в том, чтобы отбрасывать детализирующие коэффициенты, значения которых близки к нулю. В 1999 году был разработан новый стандарт сжатия изображений, названный JPEG 2000 и призванный заменить стандартный алгоритм сжатия JPEG. Одним из основных отличий JPEG 2000 от JPEG является изменение основной процедуры преобразования изображения. В то время как в JPEG использовалось преобразование Фурье и в JPEG 2000 используется вейвлет преобразование, что позволило не только улучшить визуальное качество изображения, но и добавить некоторую интересную функциональность, принципиально не достижимую в JPEG.
Одной из таких дополнительных функции является ROI (Region of Interest). ROI позволяет динамически в пространстве и во времени повышать разрешение изображения. Под динамическим повышением разрешения изображения в пространстве понимается то, что мы можем повысить разрешение только выделенной области изображения. Под динамическим повышением разрешения изображения во времени понимается то, что мы можем повышать разрешение выделенной области изображения постепенно, шаг за шагом.
Существует несколько алгоритмов реализации ROI, в частности мы можем, как бы добавлять детализирующие коэффициенты в заданную пользователем область. Для более детального описания данного алгоритма требуется понимание особенностей кодирования информации в JPEG 2000, описание которых выходит за рамки данной работы.
Поиск изображений по образцу
Другим применением дискретного вейвлет преобразования является поиск изображений по образцу. Рассмотрим в начале работу такой поисковой системы с точки зрения пользователя. Пусть существует некоторая база данных, в которой хранятся изображения. Задачи поиска изображений по образцу возникают либо когда у пользователя есть изображение плохого качества (например, отсканированное изображение с низким разрешением) и пользователь хочет найти это же изображение, но с более высоким разрешением или без дефектов, либо когда пользователь просто хочет найти изображение и способен нарисовать от руки его примерный эскиз.