Исследование метода дифференцирования по параметру для решения нелинейных САУ (стр. 4 из 4)

6

out =

0 3.7321 0.2680 0.0100 0.0100

1.0000 3.7321 0.2680 -1.3467 0.0967

2.0000 2.3854 0.3646 -0.3973 0.0992

3.0000 1.9881 0.4638 -0.0536 0.0490

4.0000 1.9345 0.5128 -0.0026 0.0047

5.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0001

6.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

Метод Рунге - Кутта 4го порядка

t =

0

h =

0.1000

y =

3 0

…

t =

1

h =

1.1102e-016

y =

3.7294 0.2664

Kоличество шагов =

11

Количество итераций равно

6

out =

0 3.7294 0.2664 0.0100 0.0100

1.0000 3.7294 0.2664 -1.3449 0.0978

2.0000 2.3845 0.3642 -0.3965 0.0995

3.0000 1.9880 0.4637 -0.0535 0.0492

4.0000 1.9345 0.5128 -0.0026 0.0047

5.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0001

6.0000 1.9319 0.5176 0.0000 0.0000

Видим, что количество итераций для дискретного метода Ньютона увеличивается, так как начальное решение (3 0) немного дальше от точного, чем (2 0), и для уточнения приходится совершать больше итераций.

4.АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ. ВЫВОДЫ

Видно, что графики приближенных решений по методам Рунге-Кутта ненамного отличаются. Лишь при выводе на экран численных значений решения, можно увидеть отличия. При этом более точное приближенное решение получилось у метода Рунге-Кутта второго порядка (при использовании метода Рунге-Кутта первого порядка получилось приближенное решение, где первая составляющая чуть больше уточненного, а вторая – чуть меньше; при использовании же метода Рунге-Кутта четвертого порядка наоборот). Но на данном этапе нет необходимости получать более точное решение, поэтому с точки зрения вычислительных затрат целесообразнее использовать метод Рунге-Кутта первого порядка

При использовании дискретного метода Ньютона для уточнения решения метод сходится за 2-3 итерации. При чем точность можно регулировать с помощью допустимой ошибки: чем меньше мы зададим допустимую ошибку, тем больше точность.

Можно прийти к выводу, что целесообразнее при решении нелинейных САУ методом дифференцирования по параметру использовать для вычисления приближенного решения метод Рунге-Кутта первого порядка. Так как необходимую точность можно получить потом при уточнении решения. А шаг интегрирования можно даже выбрать 0.5, то есть достаточно большим. Метод сойдется, а вычислительных затрат будет меньше. При уточнении же дискретным методом Ньютона все равно получится достаточно точное решение, а количество итераций станет ненамного больше.

Метод дифференцирования по параметру обладает глобальной сходимостью, поэтому он сойдется даже при достаточно неточном первоначальном приближении (это проверено при Х⁰ = (3 0)).

Итак, при решении систем нелинейных уравнений методом дифференцирования по параметру получаются достаточно точные значения. Можно сделать вывод, что данный метод эффективен.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении можно сказать, что проведенное исследование оказалось успешным, задачи, поставленные вначале проекта, выполнены. В работе исследовано влияние метода интегрирования на точность получаемого решения. Получены сведения о зависимости точности интегрирования от величины шага; о зависимости получаемого уточненного решения от величины допустимой ошибки и от начального приближенного решения; а также от выбора порядка метода Рунге – Кутта для получения приближенного решения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - Часть1.- М: Наука, 1975. – 632с.

2. Кузьмик П.К., Маничев В.Б. Автоматизация функционального проектирования. Кн.5. Системы автоматизированного проектирования/ Под ред. И.П. Норенкова. – М: Высшая школа, 1986. – 144 с.

3. Потабенко Н.А. Численные методы. – М.: Изд-во МАИ, 1997. – 88с.: ил.

4. Сарычева О.М. Численные методы в экономике. Конспект лекций. – Новосибирск, 1995. – 65с.