
.............

Залучивши визначення похідної, можна виявити певний зв'язок між кінцевими різницями і похідними. А саме, якщо враховувати, що

, то можна сказати, що при достатньо малих

має місце наближена рівність

тобто перші різниці характеризують першу похідну функції

по значенням якої вони складені. Скориставшись цим, маємо для других різниць:

,
тобто

, і, взагалі,

. (1. 2. 1)
Таким чином, на кінцеві різниці можна дивитись як на деякий аналог похідних. Звідси справедливість багатьох їх властивостей, однакових зі властивостями похідних.
Відмітимо лише найпростіші властивості кінцевих різниць:
1. кінцеві різниці сталої дорівнюють нулю;
2. сталий множник у функції можна виносити за знак кінцевої різниці;
3. кінцева різниця від суми двох функцій дорівнює сумі їх кінцевих різниць в одній і тій же точці.
Враховуючи роль, яку відіграють многочлени в теорії інтерполювання, подивимось, що представляють собою кінцеві різниці многочленна.
Так як многочлен в своїй канонічній формі є лінійна комбінація степеневих функцій, покладемо спочатку

. Використовуючи біноміальне розвинення п-ого степеня двочлена, отримаємо:

тобто перша кінцева різниця степеневої функції

є многочлен степеня п-1 зі старшим членом

. Якщо взяти тепер кінцеву різницю від функції

, (1. 2. 2)
то в силу лінійних властивостей

, можна записати

. Перший доданок в цій сумі, як з’ясовано, є многочлен (п-1)-го степеня, другий, аналогічно, - многочлен степеня п-2, і т. д. отже, перша кінцева різниця многочленна (1. 2. 2) в точці

з короком

є многочлен зі старшим членом

, друга кінцева різниця – многочлен зі старшим членом

, …,

-та різниця – многочлен зі старшим членом

.
При

отримуємо постійну різницю п-го порядку

для многочлена (1. 2. 2), кінцеві різниці більш високих порядків дорівнюють нулю.
Тобто, головний висновок із попередніх роздумів: п-і кінцеві різниці многочленна п-ого степеня постійні, а (п+1)-ші і всі наступні рівні нулю.
Однак, більш важливим для розуміння суті поліноміального інтерполювання є твердження, обернене зробленому вище висновку. А саме, що якщо кінцеві різниці п-го порядку деякої функції

постійні в будь-якій точці

при різних фіксованих кроках

, то ця функція

є многочлен степеня п.
Для функції

, заданої таблицею своїх значень

у вузлах

, де

, кінцеві різниці різних порядків зручно поміщати в одну загальну таблицю з вузлами і значеннями функції. Цю загальну таблицю називають таблицею кінцевих різниць.
1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона
Нехай для функції

задані значення

для рівновіддалених значень незалежної змінної:

, де

- крок інтерполяції. Необхідно підібрати поліном

степені не вище п, який приймає в точках

значення

(1. 2. 3)
Умови (1. 2. 3) еквівалентні тому, що

. Слідуючи Ньютону, будемо шукати поліном у вигляді

Використовуючи загальний степінь, вираз (1. 2. 3) запишемо так:

Наша задача заклечається у визначенні коефіцієнтів

полінома

. Покладаючи

у вираз (1. 2. 5), отримаємо

.
Щоб знайти коефіцієнт

, складемо першу кінцеву різницю

. Припускаючи в останньому виразі

, отримаємо:

; звідки

. Для визначення коефіцієнта

складемо кінцеву різницю другого порядку

. Покладаючи

, отримаємо:

; звідки

. Послідовно продовжуючи цей процес, ми виявимо, що

, де

.
Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів

у вираз (1. 2. 5) отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона

. (1. 2. 6)