Інтерполювання функцій (стр. 6 из 9)

Далі вводячи змінну

і зробивши відповідну заміну у формулі (1. 3. 3), отримаємо першу інтерполяційну формулу Гауса:

або, коротше,

де

.

Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці

.

Аналогічно можна отримати другу інтерполяційну формулу Гауса, котра містить центральні різниці

. Друга інтерполяційна формула Гауса має вигляд:

або, в скорочених позначеннях,

де

.

Формули Гауса застосовуються для інтерполювання в середині таблиці поблизу

. При цьому перша формула Гауса застосовується при , а друга – при .

1.4 Інтерполяційна формула Бесселя

Для того, щоб вивести формулу Бесселя використаємо другу інтерполяційну формулу Гауса (1. 3. 6).

Візьмемо

рівновіддалених вузлів інтерполювання з кроком , і нехай - задані значення функції .

Якщо обрати за початкове значення

і , то, використовуючи вузли , будемо мати:

прикладний задача інтерполяційний формула

Візьмемо тепер за початкове значення

і і використаємо вузли . Тоді , причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (1. 4. 1) зростуть на одиницю. Якщо замінити в правій частині формули (1. 4. 1) на і збільшивши індекси всіх різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу:

Взявши середнє арифметичне формул (1. 4. 1) і (1. 4. 2), після нескладних перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя:

де

.

Тобто, інтерполяційна формула Бесселя (1. 4. 3), як слідує із способу отримання її, представляє собою поліном, який співпадає з даною функцією

в точках .

В окремому випадку, при п=1, нехтуючи різницею

, маємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю:

або

, де .

У формулі Бесселя всі члени, котрі містять різниці непарного порядку, мають множник

, тому при формула (1. 4. 3) значно спрощується:

Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Якщо у формулі (1. 4. 3) зробити заміну змінної за формулою

, то вона приймає більш симетричний вигляд:

де

.

Формула Бесселя використовується для інтерполювання всередині таблиці при значеннях q, близьких до 0.5. Практично вона використовується при

.

1.5 Інтерполяційна формула Стірлінга

Якщо взяти середнє арифметичне першої інтерполяційної формули Гауса (1. 3. 4) та другої формули Гауса (1. 3. 6), то отримаємо формулу Стірлінга:

де

.

Легко бачити, що

при .

Формула Стірлінга використовується для інтерполювання в середині таблиці при значеннях

, близьких до нуля. Практично її використовують при .

1.6 Оцінки похибок центральних інтерполяційних формул

Приведемо залишкові члени для формул Гауса, Стірлінга і Бесселя [12].

1. Залишковий член інтерполяційних формул Гауса (1. 3. 4) і (1. 3. 6) та інтерполяційної формули Стірлінга (1. 5. 1).

Якщо 2п – порядок максимальної різниці таблиці, яка використовується

і

, то ,

де

.

Якщо ж аналітичний вираз функції

невідомий, то при малому покладають [2]: .

2. Залишковий член інтерполяційної формули Бесселя (1. 4. 3).

Якщо 2п+1 – порядок максимальної використовуваної різниці таблиці і

, то

,

де

.

Якщо ж функція

задана таблично і крок hмалий, то приймають:

.

Найбільш простий вигляд формула має при q=0.5, так як всі члени, що містять різниці непарного порядку зникають. Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Її використовують для ущільнення таблиць [4], тобто для складання таблиць з більш малим кроком. Для залишкового члена при q=0.5 маємо:

.

1.7 Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів

Для побудови інтерполяційних формул у випадку довільного розташування упорядкованих не співпадаючих вузлів

на проміжку , замість кінцевих різниць використовують розділені різниці, або інакше, різницеві відношення.

Через значення функції

спочатку визначають розділені різниці першого порядку:

(1. 7. 1)

На різницях (1. 7. 1) шукаються розділені різниці другого порядку:

і т.д. Таким чином, якщо визначені k-ті різницеві відношення

, то - ті визначаються завдяки ним рівністю: