Система линейных алгебраических уравнений – математическая модель, которая описывает состояние равновесия экономического объекта, которое называется установившимся режимом или статикой объекта. Экономическая статика изучает допустимые и рациональные состояния экономического объекта.
или в матричной форме
Ax = b,
где
- матрица коэффициентов,
- столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно.
Если матрица А неособенная, т.е.
то система (1.1) имеет единственное решение. В этом случае решение системы (1.1) с теоретической точки зрения не представляет труда. Значения неизвестных xi (i=1,2,…n) могут быть получены по известным формулам Крамера
крамер квадратный корень матрица
где матрица Ai получается из матрицы А заменой ее i-го столбца столбцом свободных членов.
Но такой способ решения линейной системы с n неизвестными приводит к вычислению n + 1 определителей порядка n, что представляет собой весьма трудоемкую операцию при сколько-нибудь большом числе n.
Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы: точные и приближенные.
Точными методами называются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округлений), приводят к точным значениям неизвестных xi. Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями, то и значения неизвестных, полученные точным методом, неизбежно будут содержать погрешности. К точным методам относятся, например, метод Гаусса, метод квадратных корней.
Приближенными методами называются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы (x1, x2, …, xn) лишь с заданной точностью. Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса. К приближенным методам относятся метод простой итерации, метод Зейделя и др. Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений.
Данная контрольная работа имеет следующую структуру: в начале рассматривается математическая постановка задачи для метода квадратных корней при решении систем линейных алгебраических уравнений. Затем производится реализация данного метода с помощью вычислительных средств ЭВМ, а именно прикладной программой Matlab 6.5. На примере реализации нескольких тестовых задач проводится анализ точности данного метода, а именно когда наиболее эффективно применять метод квадратных корней при решении систем линейных алгебраических уравнений. Анализ проводится на основе матрицы А (ее мерности, разреженности, обусловленности. Результаты, полученные на основе метода квадратных корней, приведены в конце данной работы. Также в работе представлен графический материал. По окончании проведения исследования работа завершается логическим заключением.
Математическая постановка задачи
Метод квадратных корней используется для решения линейной системы
Ax = b,
у которой матрица А симметрическая, т.е.
aij = aji (i, j = 1, 2, …, n).
Метод является более экономным и удобным по сравнению с решением систем общего вида.
Решение системы осуществляется в два этапа.
Прямой ход. Представим матрицу А в виде произведения двух взаимно транспонированных треугольных матриц:
А = Т¢ Т,где
.
Перемножая матрицы T¢ и T и приравнивая матрице A, получим следующие формулы для определения tij:
После того, как матрица Т найдена, систему (1.2) заменяем двумя эквивалентными ей системами с треугольными матрицами
T¢y = b, Tx = y.
Обратный ход. Записываем в развернутом виде системы (1.5):
Отсюда последовательно находим
При вычислениях применяется обычный контроль с помощью сумм, причем при составлении суммы учитываются все коэффициенты соответствующей строки.
Заметим, что при действительных aij могут получиться чисто мнимые tij. Метод применим и в этом случае.
Описание программного обеспечения (согласно стандартам на ИТ)
Для изучения данного метода было выбрано программное обеспечение: Matlab 6.5, в операционной системе WindowsXPProfessional. На этапе проектирования была создана программа Square (‘квадрат’). Входными переменными для данной программы является матрица A и соответствующая ей матрица B. Результатом выполнения данной программы является матрица X (выходная переменная), которая является решением системы линейных алгебраических уравнений.
Ниже описан алгоритм реализации метода квадратных корней на языке программирования в среде Matlab 6.5:
A=input('Введите матрицу A=');
B=input('Введите B=');
if A==A'
if det(A)~=0
s=size(A,1);
if size(B',1) == s
T=zeros(s);
T(1,1)=sqrt(A(1,1));
for k=2:s
T(1,k)=A(1,k)/T(1,1)
end
for j=2:s
for i=2:s
if i==j
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)^2
end
T(i,i)=sqrt(A(i,i)-sm)
else
if i<j
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)*T(k,j)
end
T(i,j)=(A(i,j)-sm)/T(i,i)
end
end
end
end
Y=zeros(s,1)
Y(1)=B(1)/T(1,1)
for i=2:s
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)*Y(k)
end
sm
Y(i)=(B(i)-sm)/T(i,i)
end
X=zeros(s,1)
X(s)=Y(s)/T(s,s)
for m=1:(s-1)
i=s-m
sm=0
for k=(i+1):s
sm=sm+T(i,k)*X(k)
sm
end
X(i)=(Y(i)-sm)/T(i,i)
E=A*X-B'
end
else
error('B не соответствует матрице А')
end
else
error('det А = 0')
end
else
B = B*A'
A = A*A'
if det(A)~=0
s=size(A,1);
if size(B',1) == s
T=zeros(s);
T(1,1)=sqrt(A(1,1));
for k=2:s
T(1,k)=A(1,k)/T(1,1)
end
for j=2:s
for i=2:s
if i==j
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)^2
end
T(i,i)=sqrt(A(i,i)-sm)
else
if i<j
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)*T(k,j)
end
T(i,j)=(A(i,j)-sm)/T(i,i)
end
end
end
end
Y=zeros(s,1)
Y(1)=B(1)/T(1,1)
for i=2:s
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)*Y(k)
end
sm
Y(i)=(B(i)-sm)/T(i,i)
end
X=zeros(s,1)
X(s)=Y(s)/T(s,s)
for m=1:(s-1)
i=s-m
sm=0
for k=(i+1):s
sm=sm+T(i,k)*X(k)
sm
end
X(i)=(Y(i)-sm)/T(i,i)
end
else
error('B не соответствует матрице А')
end
else
error('det А = 0')
end
end
Описание тестовых задач
Результатом разработки программы является этап реализации и тестирования метода квадратных корней. На этапе выполнения программы может появляться неточность полученного решения из-за ошибки вычисления (например, ошибки округления ЭВМ). Исследуем влияние мерности матрицы A, ее обусловленности, разреженности на точность полученного решения. Результат будем оценивать по невязке ε = Ax* - b (x* - полученное решение). Для этого рассмотрим разного рода матрицы:
- влияние мерности матрицы А;
Рассмотрим матрицы мерности 2´2, 3´3, 4´4 и 5´5. Зададим матрицу мерностью 2´2:
, ей соответственно зададим 
, в результате выполнения программы получим решение:X =
ε =
Зададим матрицу размерностью 3´3:
, ей соответственно зададим 
, в результате выполнения программы получим решение:X =
ε =
Зададим матрицу размерностью 4´4:
, ей соответственно зададим 
, в результате выполнения программы получим решение:
X =
ε =
Зададим матрицу размерностью 5´5:
, ей соответственно зададим 
, в результате выполнения программы получим решение:X =
