Определение законов распределения и числовых характеристик случайной величины на основе опытных данных (стр. 1 из 4)
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королева Кафедра высшей математики
Расчетно-пояснительная записка к курсовой работе по математике
г. Самара
Определение законов распределения и числовых характеристик случайной величины на основе опытных данных
Задание
В протокол внесено n=100 измерений случайной величины Х.
1. По выборке построить статистический ряд и гистограмму.
2. Найти статистическую функцию распределения
и построить её график.3. Вычислить числовые характеристики статистического ряда
.4. Выровнять полученное распределение с помощью нормального закона.
Построить график теоретической кривой распределения
в одной системе координат с гистограммой.Построить график теоретической функции распределения
в одной системе координат с графиком функции .5. Найти доверительный интервал
, в котором находится точное значение математического ожидания mслучайной величины Х с доверительной вероятностью 
.6. С помощью критерия согласия
проверить согласованность статистического и выбранного теоретического (нормального) распределения.Генеральная совокупность и выборка, статистический ряд и гистограмма
Генеральной совокупностью-называется совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех наблюдений, производимых в одинаковых условиях над одним объектом.
Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов или результатов наблюдения над объектом, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.
Объемом выборки называется число объектов или наблюдений в выборке.
Конкретные значения выборки называются наблюдаемыми значениями случайной величины Х. Наблюдаемые значения заносятся в протокол. Протокол представляет собой таблицу. Составленный протокол является первичной формой записи обработки полученного материала. Для получения достоверных, надежных выводов выборка должна быть достаточно представительной по объему. Большая выборка – это неупорядоченное множество чисел. Для исследования выборку приводят к наглядному упорядоченному виду. Для этого в протоколе находят наибольшее и наименьшее значения случайной величины. Выборка, отсортированная по возрастанию, приведена в таблице 1.
Таблица 1. Протокол
| -8,66 | -5,49 | -4,11 | -3,48 | -2,9 | -2,32 | -1,82 | -1,09 | -0,44 | 0,64 |
| -8,31 | -4,71 | -3,92 | -3,41 | -2,85 | -2,31 | -1,82 | -1,01 | -0,43 | 0,71 |
| -8,23 | -4,68 | -3,85 | -3,33 | -2,83 | -2,29 | -1,8 | -0,99 | -0,43 | 0,73 |
| -7,67 | -4,6 | -3,85 | -3,25 | -2,77 | -2,27 | -1,77 | -0,95 | -0,31 | 0,99 |
| -6,64 | -4,43 | -3,81 | -3,08 | -2,72 | -2,25 | -1,73 | -0,89 | -0,3 | 1,03 |
| -6,6 | -4,38 | -3,8 | -3,07 | -2,67 | -2,19 | -1,38 | -0,7 | 0,04 | 1,05 |
| -6,22 | -4,38 | -3,77 | -3,01 | -2,6 | -2,15 | -1,32 | -0,56 | 0,08 | 1,13 |
| -5,87 | -4,25 | -3,73 | -3,01 | -2,49 | -2,09 | -1,3 | -0,51 | 0,15 | 1,76 |
| -5,74 | -4,18 | -3,59 | -2,99 | -2,37 | -2,01 | -1,28 | -0,49 | 0,26 | 2,95 |
| -5,68 | -4,14 | -3,49 | -2,98 | -2,33 | -1,91 | -1,24 | -0,48 | 0,53 | 4,42 |
Размахом выборки называется разность между наибольшим и наименьшим значением случайной величины Х:
Размах выборки разбивают на kинтервалов – разрядов. Число разрядов устанавливают в зависимости от величины размаха выборки от 8 до 25, в этой курсовой работе примем k= 10.
Тогда длина интервала будет равна:
В протоколе подсчитаем число наблюдаемых значений, попавших в каждый интервал, обозначим их m1, m2,…,m10.
.Назовем miчастотой попадания случайной величины в iинтервал. Если какое-либо наблюдаемое значение случайной величины совпадает с концом интервала, то это значение случайной величины по договоренности относят в один из интервалов.
После того как определили частоты mi, определим частости случайной величины, т.е. найдем отношение частот miк общему числу наблюдаемых значений n.
- частость, условие полноты – 
Найдем середину каждого интервала:
.Составим таблицу 2
Таблица значений границ интервалов
и соответствующих частостей 
, где i= 1, 2, 3, …, k, называется статистическим рядом. Графическим изображением статистического ряда называется гистограмма. Она строится следующим образом: по оси абсцисс откладывают интервалы и на каждом таком интервале, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна соответствующей частости 
. 
, 
- высота прямоугольника, 
.Таблица
| Номер интервала | Левая граница интервала | Правая граница интервала | Интервал | Середина интервала | Частота интервала | Частость интервала | Высота прямо-угольника |
| 1 | -8,66 | -7,352 | (-8,66; -7,352) | -8,006 | 4 | 0,04 | 0,0306 |
| 2 | -7,352 | -6,044 | (-7,352; -6,044) | -6,698 | 3 | 0,03 | 0,0229 |
| 3 | -6,044 | -4,736 | (-6,044; -4,736) | -5,39 | 4 | 0,04 | 0,0306 |
| 4 | -4,736 | -3,428 | (-4,736; -3,428) | -4,082 | 20 | 0,2 | 0,1529 |
| 5 | -3,428 | -2,12 | (-3,428; -2,12) | -2,774 | 26 | 0,26 | 0,1988 |
| 6 | -2,12 | -0,812 | (-2,12; -0,812) | -1,466 | 18 | 0,18 | 0,1376 |
| 7 | -0,812 | 0,496 | (-0,812; 0,496) | -0,158 | 14 | 0,14 | 0,1070 |
| 8 | 0,496 | 1,804 | (0,496; 1,804) | 1,15 | 9 | 0,09 | 0,0688 |
| 9 | 1,804 | 3,112 | (1,804; 3,112) | 2,458 | 1 | 0,01 | 0,0076 |
| 10 | 3,112 | 4,42 | (3,112; 4,42) | 3,766 | 1 | 0,01 | 0,0076 |
| Сумма | 100 | 1 |
Рисунок 1.
Статистическая функция распределения
Статистической функцией распределения называется частость случайной величины, не превосходящая заданного значения Х:
Для дискретной случайной величины Х статистическая функция распределения находится по формуле:
Запишем статистическую функцию распределения в развернутом виде:
где
- это середина интервала i, а - это соответствующие частости, где i=1, 2,…, k. 
График статистической функции распределения есть ступенчатая линия, точками разрыва которой являются середины интервалов, а конечные скачки равны соответствующим частотам (Рисунок 2).
Рисунок 2
Вычисление числовых характеристик статистического ряда 
- статистическое математическое ожидание, 
- статистическая дисперсия, 
- статистическое среднеквадратическое отклонение.Статистическим математическим ожиданием или статистическимсредним называется среднеарифметическое наблюдаемых значений случайной величины Х.
Статистической дисперсией называется среднеарифметическое значение величины
или 
При большом объеме выборки вычисления по формулам и приводят к громоздким выкладкам. Для упрощения расчетов используют статистический ряд с границами
и частостями , где i= 1, 2, 3, …, k, находят середины интервалов 
, а затем все элементы выборки 
, которые попали в интервал , заменяют единственным значением , тогда таких значений будет в каждом интервале .