Похідні та диференціали функції багатьох змінних (стр. 4 из 4)

,

а оскільки

, то

. (12)

Цю формулу називають формулою для обчислення повної похідної
(на відміну від частинної похідної

).

Розглянемо загальніший випадок. Нехай

– функція двох змінних та , які, в свою чергу, залежать від змінних : , , тоді функція є складеною функцією незалежних змінних та , а змінні та – проміжні.

Аналогічно попередній теоремі доводиться таке твердження.

Якщо функції

та диференційовні в точці , а функція диференційовна в точці , то складена функція диференційовна в точці і її частинні похідні знаходяться за формулами:

; . (13)

Формули (13) можна узагальнити на випадок більшого числа змінних. Якщо

, де , то

Знайдемо диференціал складеної функції. Скориставшись формулами (13), отримаємо

Отже, диференціал функції

, де , , визначається формулою

, (14)

де

.

Порівнявши формули (14) і (4) дійдемо висновку, що повний диференціал функції

має інваріантну (незмінну) форму незалежно від того, чи є x та незалежними змінними, чи диференційовними функціями змінних u та v. Проте формули (4) і (14) однакові лише за формою, а по суті різні, бо у формулі (4) і – диференціали незалежних змінних, а у формулі (14) і – повні диференціали функцій та .

Диференціали вищих порядків властивості інваріантності не мають. Наприклад, якщо

, де , , то

(15)

Формула (15) відрізняється від формули (8), оскільки для складеної функції диференціали

та можуть і не дорівнювати нулю. Отже, для складеної функції , де , , формула (8) неправильна.

5 Диференціювання неявної функції

Нехай задано рівняння

, (16)

де

– функція двох змінних.

Нагадаємо, що коли кожному значенню x з деякої множини

відповідає єдине значення , яке разом з x задовольняє рівняння (16), то кажуть, що це рівняння задає на множині неявну функцію .

Таким чином, для неявної функції

, заданої рівнянням (16), має місце тотожність

.

Які ж умови має задовольняти функція

щоб рівняння (16) визначало неявну функцію і при тому єдину? Відповідь на це запитання дає така теорема існування неявної функції [8].

Теорема. Нехай функція

і її похідні та визначені та неперервні у будь-якому околі точки і , а ; тоді існує окіл точки , в якому рівняння визначає єдину неявну функцію , неперервну та диференційовну в околі точки і таку, що .

Знайдемо похідну неявної функції. Нехай ліва частина рівняння (16) задовольняє зазначені в теоремі умови, тоді це рівняння задає неявну функцію

, для якої на деякій множині точок x має місце тотожність . Оскільки похідна функції, що тотожно дорівнює нулю, також дорівнює нулю, то повна похідна . Але за формулою (12) маємо , тому , звідки

. (17)

За цією формулою знаходять похідну неявної функції однієї змінної.