Функція, її границя та неперервність (стр. 4 из 4)

Величини

, називають приростами аргументів x і , а – повним приростом функції в точці . З рівності (1) отримуємо:

.(2)

Рівність (2) дає ще одне означення неперервності.

Функція

називається неперервною в точці , якщо повний приріст її в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів x та прямують до нуля.

Функція

називається неперервною на множині , якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Приклад

Функція

неперервна на всій площині , оскільки повний приріст цієї функції в довільній точці має вигляд

.

Використовуючи поняття неперервності функції кількох змінних і відповідні теореми про границі, можна довести, що арифметичні операції над неперервними функціями і побудова складеної функції з неперервних функцій приводять до неперервних функцій.

Наведемо основні властивості функції

, неперервної в замкненій і обмеженій області. Ці властивості аналогічні властивостям неперервної на відрізку функції однієї змінної. Попередньо уточнимо ряд понять для множин точок площини.

Множина

точок площини називається зв’язною, якщо будь-які її дві точки можна з’єднати неперервною лінією, яка повністю належить множині .

Точка

називається внутрішньою точкою множини , якщо існує
-окіл цієї точки, який повністю міститься у множині .

Множину

називають відкритою, якщо кожна її точка внутрішня.

Областю (або відкритою областю) називають зв’язну відкриту множину точок.

Точку

називають межовою точкою множини , якщо будь-який її окіл містить як точки, що належать , так і точки, що не належать множині . Множину всіх межових точок області називають межею області.

Область разом з її межею називається замкненою. Якщо існує круг скінченного радіуса, який повністю містить область, то вона називається обмеженою.

Замкнена область, в якій визначена функція двох змінних, є аналогом відрізка для функції однієї змінної.

Тепер сформулюємо властивості неперервних функцій двох змінних у замкненій обмеженій області.

1. Якщо функція

неперервна в замкненій обмеженій області, то вона обмежена в цій області, тобто існує таке число , що для всіх точок області виконується нерівність .

2. Якщо функція

неперервна в замкненій обмеженій області, то в цій області існують точки, в яких функція набуває найбільшого і найменшого значень.

3. Якщо функція

неперервна в замкненій обмеженій області

і , де , то існує точка в якій . Зокрема, якщо , а , то в області існує точка , в якій .