Функція, її границя та неперервність (стр. 1 из 4)

ФУНКЦІЯ, ЇЇ ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1. Функція багатьох змінних. Означення та символіка

Нехай задано множину

упорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число z, то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних x і і записують .

Змінну

називають залежною змінною (функцією), а змінні x та – незалежними змінними (аргументами).

Множину пар

значень x та , для яких функція визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають або .

Множину значень

позначають або .

Оскільки кожній упорядкованій парі чисел

відповідає в прямокутній системі координат єдина точка площини, що те саме, точка двовимірного простору , і, навпаки, кожній точці площини відповідає єдина упорядкована пара чисел , то функцію , де , можна розглядати як функцію точки і замість писати . Областю визначення функції у цьому випадку є деяка множина точок площини . Зокрема, областю визначення функції може бути вся площина, або частина площини, обмежена певними лініями.

Значення функції

в точці позначають або , або .

Лінію, що обмежує область

, називають межею області визначення. Точки області, які не лежать на її межі, називаються внутрішніми. Область, яка містить одні внутрішні точки називається відкритою. Якщо ж до області визначення належать і всі точки межі, то така область називається замкненою.

Функція двох змінних, як і функція однієї змінної, може бути задана різними способами. Користуватимемося, як правило, аналітичним способом, коли функція задається за допомогою формули. Областю визначення такої функції вважається множина всіх тих точок площини, для яких задана формула має зміст.

Приклади

Знайти область визначення

функції

а)

;

б)

.

Розв’язання

а) Область

даної функції – множина тих точок

, для яких вираз

має зміст, тобто множина точок, для яких . Це означає, що функція визначена в точках, які знаходяться всередині кола і на його межі, оскільки всі точки, які знаходяться зовні кола задовольняють умову .

б) Область визначення

цієї функції визначається з нерівності , тобто .

Точки площини

, координати яких задовольняють цю нерівність, розташовані під прямою , причому точки, які розташовані на цій прямій не належать області .

Функцію двох змінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні. Дійсно, нехай функція

визначена в області . Кожній точці відповідає певне значення функції .

Графіком функції

у прямокутній системі називається геометричне місце точок , проекції яких належать області . Це геометричне місце точок утворює в тривимірному просторі певну поверхню (рис.1), проекцією якої на площину є множина .

Рисунок 1 – Поверхня у тривимірному просторі

Приклади

а) Графіком функції

, як відомо з аналітичної геометрії, є параболоїд обертання.

б) Графіком функції

є гіперболічний параболоїд.

При побудові графіків функцій двох змінних часто стикаємося із значними труднощами. В зв’язку з цим для зображення функції двох змінних користуються методом перерізів, який полягає у тому, що поверхню

перетинають площинами та і за графіками кривих та

визначають графік функції .

Можна фіксувати неx чи

, а саму функцію , тобто перетинати дану поверхню площинами , де c – довільне число, взяте з множини

значень даної функції. Таким чином отримаємо криву , яку називають
лінією рівня функції. Інакше кажучи, лінія рівня на площині

– це проекція кривої, яка утворюється при перетині поверхні площиною . Якщо побудувати лінії рівня для різних значень c, можна отримати уявлення про графік функції двох змінних.