Аналитическая геометрия (стр. 5 из 8)

2.2 Эллипс

Проделаем мысленный эксперимент (желающие могут попробовать проделать это реально): возьмите два гвоздя (кнопки) и вбейте их в ровную поверхность на некотором расстоянии, привяжите к ним нерастяжимую нить длиной больше расстояния между фокусами (см. Рис.18).

Рис.18

А теперь возьмите карандаш, натяните им нить и двигайте карандашом так, что бы нить всегда была натянута, а карандаш оставлял след на поверхности. Попробовали?... Что получилось? – Если то, что изображено на рис. 19, то это эллипс.

Рис.19

Определение эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от данных двух фиксированных точек плоскости (вот они наши гвоздики из эксперимента!) есть величина постоянная. Причем необходимо, что бы эта постоянная была больше расстояний между фокусами (а вот и наша нерастяжимая нить!) – смотри рис.20

Рис.20

На рисунке 20

- точки F₁(- c; 0) и F₂(c; 0) – фокусы эллипса;

-

и – соответственно левый и правый фокальные радиусы;

- 0a – большая полуось эллипса;

- 0b – малая полуось эллипса.

- точка М – «бегущая» точка, которая в любой момент движения принадлежит эллипсу.

При этом выполняется условие

2∙a > 2∙c.

Связь между полуосями и координатами фокусов эллипса

Каноническое уравнение эллипса

Каноническим уравнением эллипса называется алгебраическое выражение второго порядка

Замечание о каноничности уравнения

Каноническим оно называется потому, что описывает эллипс, расположенный каноническим образом: симметрично относительно и оси Ox, и оси Oy. Эллипс, расположенный любым другим способом: или так, как на Рис. 21,

Рис.21

или так, как на Рис.22,

Рис.22

будет по-прежнему описываться алгебраическим выражением второго порядка, но имеющем менее изящную форму.

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния между фокусами к длине его большой полуоси

Определение не вполне наглядное и информативное, куда как более наглядным оно становится при использовании связи между полуосями и координатами фокусов:

Тогда

откуда получаем другую форму вычисления эксцентриситета

Откуда сразу же видно, что при равенстве большой и малой полуосей (a = b – при превращении эллипса в окружность) эксцентриситет равен нулю. Т.е. окружность – это эллипс с нулевым эксцентриситетом!!!

Или – эксцентриситет показывает степень «сплюснутости» эллипса: чем больше он отличается нуля, тем более он сплюснут!

Связь между фокальными радиусами и эксцентриситетом эллипса

r₁ + r₂ = 2∙a

r₁ = a + ε∙x

r₂ = a - ε∙x.

Пример 18 (получение уравнения эллипса)

Получить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки

Решение

В данном случае «получить каноническое уравнение эллипса» - значит, найти конкретные значения a и b (большой и малой полуосей). Радует то, что точек у нас две и неизвестных то же две, т.е. может быть получена система алгебраических уравнений: подставляем координаты первой точки в одно уравнение эллипса, а второй точки – во второе

Т.о., искомое каноническое уравнение эллипса

2.3 Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная. Причем указанная разность берется по абсолютному значению и необходимо, что бы она была меньше расстояния между фокусами и не равна нулю. (См. Рис.23)

Рис.23

На рисунке:

-

- левый фокальный радиус;

-

- правый фокальный радиус;

- (- с; 0) – координаты левого фокуса (точки F₁);

- (с; 0) - координаты правого фокуса (точки F₂);

-

- действительная полуось гиперболы;

-

- мнимая полуось гиперболы;

- точка (а; 0) – правая вершина гиперболы;

- точка (- а; 0) – левая вершина гиперболы;

- прямые

- асимптоты гиперболы.

Названия полуосей не случайны: точки

гиперболе принадлежат, а точки - гиперболе не принадлежат (потому и ось – мнимая), но мнимая полуось, хотя и не является частью гиперболы, вполне определяет ее форму, поскольку именно между асимптотами гиперболы и располагаются ветви ее.

Каноническое уравнение гиперболы

(смотри замечание о каноничности уравнения).

Связь между полуосями и координатами фокусов гиперболы

При этом важным является выражение, связывающее действительную, мнимую полуось и координату фокуса (сравните с формой аналогичной связи для параметров эллипса)

.

Эксцентриситет гиперболы

Пример 19 (о нахождении уравнения гиперболы)

Эксцентриситет гиперболы равен

. Найти каноническое уравнение гиперболы, если точка гиперболе принадлежит.

Решение

Прежде всего, что ищем конкретно? – Ищем значения a и b в каноническом уравнении гиперболы. Неизвестных величин две, следовательно, и уравнений для их нахождения должно быть два.

Первое уравнение получим из того факта, что нам известен эксцентриситет гиперболы и известна связь между полуосями и координатами фокуса гиперболы:

.

Это первое равенство, а второе получим, используя тот факт, что точка М гиперболе принадлежит, т.е., ее координаты обращают каноническое уравнение гиперболы в тождество:

и, окончательно, получаем

Ответ

Искомая гипербола описывается каноническим уравнением

x² - y² = 1.

Пример 20 (прямая и гипербола)

Через точку М(0; - 1) и правую вершину гиперболы

3∙x² - 4∙y² = 12

проведена прямая. Найти вторую точку пересечения прямой с гиперболой.

Решение

Задачу будем решать в два шага:

- найдем уравнение прямой;

- найдем координату точки пересечения прямой и гиперболы.

Шаг 1

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку М(0; - 1) и правую вершину гиперболы необходимо знать координаты правой вершины гиперболы. Найдем вторую точку из уравнения гиперболы, приведя данное уравнение к каноническому виду, зная при этом, что в каноническом уравнении важно все: равно выражение именно единице, а в самом выражении – значения действительной и мнимой полуоси – это знаменатели дробей, в которых числители x² и y².

Откуда в уравнении гиперболы a = 2, b =

, или координаты правой вершины М₂(2; 0). А вот теперь ищем уравнение прямой, проходящей через две данные точки М и М₂