Аналитическая геометрия (стр. 8 из 8)
Не трудно убедиться в том, что и векторы ортонормированного базиса
в ПДСК образуют правую тройку векторов.Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов
назовем число, определяемое выражением 
Т.е., в одном произведении смешаны сразу два: векторное
и скалярное – вектор-результат векторного произведения умножается на вектор 
скалярно (вот почему в итоге получаем число).Геометрическое свойство смешанного произведения векторов
Смешанное произведение векторов
равно объему параллеле- пипеда, построенного на перемножаемых векторах, взятому со знаком «+», если эта тройка правая и со знаком « - », если эта тройка «левая» (не правая).Условие компланарности векторов
Векторы
компланарны (расположены в одной плоскости), если их смешанное произведение равно нулю: 
Смешанное произведение для векторов, заданныхв координатной форме
Для векторов
смешанное произведение определяется выражением
Откуда
Условие компланарности для векторов, заданных вкоординатной форме
Пример 29 (вычисление объема пирамиды)
Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(2; 2; 2), B(4; 3; 3), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).
Решение
Идея задачи основана на том факте, что объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, а потому алгоритм решения
- находим векторы AB, AC и AD;
- находим смешанное произведение найденных векторов (это будет объем параллелелепипеда);
- находим 1/6 от найденного объема – это и будет искомый объем.
Шаг 1
Находим векторы AB, AC и AD
Шаг 2
Вычисляем объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD
Шаг 3
Вычисляем Vпирамид. С учетом того, что
получаем 
Ответ
Объем пирамиды ABCD равен
4 УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Поверхность
Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F(x; y; z) = 0.
Линия в пространстве
Если уравнения F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определяют некоторую поверхность, то линия L (x; y; z) = 0 может быть определена как геометрическое место точек общих для обеих поверхностей (линия пересечения поверхностей)
.4.1 Плоскость, как поверхность первого порядка
Существует, как минимум, три определения плоскости:
1) Плоскость есть поверхность, которая полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.
2) Плоскость есть множество точек пространства, равноудаленных от данных двух точек.
А теперь об одной из форм уравнения плоскости.
Во-первых, со школьных времен известно; «любые не совпадающие и не лежащие на одной прямой три точки определяют плоскость, причем единственную». Не случайно абсолютно устойчив (т.е. «не качается») стул на трех ножках и не устойчив («качается») стул на двух и более чем на трех ножках. Во-вторых, вектор нормали к плоскости ориентирует ее в пространстве (см. Рис.31)
Рис.31
Пусть искомая плоскость π проходит через точку М0 перпендикулярно вектору
, тогда- во-первых, вектор
есть результат векторного произведения вектора М0М2 на вектор М0М1 
- во-вторых, вектор
перпендикулярен и вектору М0М2, и вектору М1М2. Откуда, из условия ортогональности векторов получаем, что скалярное произведение на вектор М0М2 ( или на вектор М0М1) равно нулю. Если точка М2 имеет координаты (x; y; z), то скалярное произведение вектора на вектор М0М2 должно быть равно нулю. С учетом того, что вектор М0М2 определяется как 
получаем, что
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору
Пример 30 (получение уравнения плоскости)
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1; 1; 1) перпендикулярно вектору
Решение
В нашем случае
А=1, В= 1 и С =1;
x0 = 2, y0 = 2, z0 = 3,следовательно, уравнение плоскости имеет вид
Или, окончательно,
Ответ
Искомая плоскость определяется уравнением
Общее уравнение плоскости
Вообще, любое уравнение вида
A∙x + B∙y + C∙z + D = 0
определяет плоскость (где А, В и С – координаты вектора-нормали к плоскости). Такая форма уравнения плоскости получила название «общее уравнение плоскости».
Неполные уравнения плоскости
Пусть плоскость задана своим общим уравнением
A∙x + B∙y + C∙z + D = 0, (*)
тогда
1) если D = 0, то (*) определяет плоскость, проходящую через начало координат;
2) если А = 0, то B∙y + C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Ox (т.к.
);3) если В = 0, то A∙x + C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oy (т.к.
);4) если C = 0, то A∙x + B∙y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oz (т.к.
);5) А = 0; В = 0, то C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxy;
6) A = 0; C = 0, то В∙y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxz;
7) B = 0; C = 0, то A∙x + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oyz;
8) A = 0, B = 0, D = 0, то С∙z = 0 – это плоскость Oxy;
9) A = 0, C = 0, D = 0, то B∙y = 0 – это плоскость Oxz;
10) B = 0, C = 0, D = 0, то A∙z = 0 – это плоскость Oyz.
Точно так же, как было ранее с общим уравнением прямой на плоскости, из общего уравнения можно получить и другие формы уравнения плоскости. Одна из этих форм уравнение плоскости в отрезках.
Из общего уравнения плоскости
A∙x + B∙y + C∙z + D = 0
Получается уравнение плоскости в отрезках
Последнее выражение получило название «уравнение плоскости в отрезках»
Уравнение плоскости в отрезках
где a, b и с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.
Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями
A1∙x + B1∙y + C1∙z + D1 = 0 и
A2∙x + B2∙y + C2∙z + D2 = 0.
Т.е., векторы-нормали имеют координаты
- для плоскости
- для плоскости
И пусть плоскости не совпадают и не параллельны (см. Рис.32)
Рис.32
Тогда
Угол между плоскостями определяется углом между нормальными векторами
, а как найти угол между векторами мы уже знаем:если φ – угол между векторами
, то это же и угол между плоскостями π1 и π2 
Откуда два важных следствия (условия)
Условие перпендикулярности двух плоскостей
Две плоскости перпендикулярны при условии, что
A1∙A2 + B1∙B2 + C1∙C2 = 0.
Условие параллельности двух плоскостей
Две плоскости параллельны при условии, что
