Не трудно убедиться в том, что и векторы ортонормированного базиса
Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов
Т.е., в одном произведении смешаны сразу два: векторное
Геометрическое свойство смешанного произведения векторов
Смешанное произведение векторов
Условие компланарности векторов
Векторы
Смешанное произведение для векторов, заданныхв координатной форме
Для векторов
смешанное произведение определяется выражением
Откуда
Условие компланарности для векторов, заданных вкоординатной форме
Пример 29 (вычисление объема пирамиды)
Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(2; 2; 2), B(4; 3; 3), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).
Решение
Идея задачи основана на том факте, что объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, а потому алгоритм решения
- находим векторы AB, AC и AD;
- находим смешанное произведение найденных векторов (это будет объем параллелелепипеда);
- находим 1/6 от найденного объема – это и будет искомый объем.
Шаг 1
Находим векторы AB, AC и AD
Шаг 2
Вычисляем объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD
Шаг 3
Вычисляем Vпирамид. С учетом того, что
Ответ
Объем пирамиды ABCD равен
Поверхность
Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F(x; y; z) = 0.
Линия в пространстве
Если уравнения F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определяют некоторую поверхность, то линия L (x; y; z) = 0 может быть определена как геометрическое место точек общих для обеих поверхностей (линия пересечения поверхностей)
Существует, как минимум, три определения плоскости:
1) Плоскость есть поверхность, которая полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.
2) Плоскость есть множество точек пространства, равноудаленных от данных двух точек.
А теперь об одной из форм уравнения плоскости.
Во-первых, со школьных времен известно; «любые не совпадающие и не лежащие на одной прямой три точки определяют плоскость, причем единственную». Не случайно абсолютно устойчив (т.е. «не качается») стул на трех ножках и не устойчив («качается») стул на двух и более чем на трех ножках. Во-вторых, вектор нормали к плоскости ориентирует ее в пространстве (см. Рис.31)
Рис.31
Пусть искомая плоскость π проходит через точку М0 перпендикулярно вектору
- во-первых, вектор
- во-вторых, вектор
получаем, что
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору
Пример 30 (получение уравнения плоскости)
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1; 1; 1) перпендикулярно вектору
Решение
В нашем случае
А=1, В= 1 и С =1;
следовательно, уравнение плоскости имеет вид
Или, окончательно,
Ответ
Искомая плоскость определяется уравнением
Общее уравнение плоскости
Вообще, любое уравнение вида
A∙x + B∙y + C∙z + D = 0
определяет плоскость (где А, В и С – координаты вектора-нормали к плоскости). Такая форма уравнения плоскости получила название «общее уравнение плоскости».
Неполные уравнения плоскости
Пусть плоскость задана своим общим уравнением
A∙x + B∙y + C∙z + D = 0, (*)
тогда
1) если D = 0, то (*) определяет плоскость, проходящую через начало координат;
2) если А = 0, то B∙y + C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Ox (т.к.
3) если В = 0, то A∙x + C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oy (т.к.
4) если C = 0, то A∙x + B∙y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oz (т.к.
5) А = 0; В = 0, то C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxy;
6) A = 0; C = 0, то В∙y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxz;
7) B = 0; C = 0, то A∙x + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oyz;
8) A = 0, B = 0, D = 0, то С∙z = 0 – это плоскость Oxy;
9) A = 0, C = 0, D = 0, то B∙y = 0 – это плоскость Oxz;
10) B = 0, C = 0, D = 0, то A∙z = 0 – это плоскость Oyz.
Точно так же, как было ранее с общим уравнением прямой на плоскости, из общего уравнения можно получить и другие формы уравнения плоскости. Одна из этих форм уравнение плоскости в отрезках.
Из общего уравнения плоскости
A∙x + B∙y + C∙z + D = 0
Получается уравнение плоскости в отрезках
Последнее выражение получило название «уравнение плоскости в отрезках»
Уравнение плоскости в отрезках
где a, b и с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.
Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями
A1∙x + B1∙y + C1∙z + D1 = 0 и
A2∙x + B2∙y + C2∙z + D2 = 0.
Т.е., векторы-нормали имеют координаты
- для плоскости
- для плоскости
И пусть плоскости не совпадают и не параллельны (см. Рис.32)
Рис.32
Тогда
Угол между плоскостями определяется углом между нормальными векторами
если φ – угол между векторами
Откуда два важных следствия (условия)
Условие перпендикулярности двух плоскостей
Две плоскости перпендикулярны при условии, что
A1∙A2 + B1∙B2 + C1∙C2 = 0.
Условие параллельности двух плоскостей
Две плоскости параллельны при условии, что