Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля (стр. 2 из 2)

, (14)

причём

Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:

1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка

величины

;

2. Полагая

, по формуле (14) вычисляем

;

3. По формуле (10) вычисляем функции

;

4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции

В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция

, где

Вычисление функций Матье III рода

Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:

. (15)

Условие на бесконечности

. (16)

Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:

и при достаточно больших

линейному соотношению:

(17)

Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших

представимо асимптотическим рядом

Рассмотрим алгоритм нахождения функций

. Для их вычисления нужно перенести граничное условие

где

, справа налево от точки

до точки

Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.

По всему отрезку

переносим соотношение

потребовав выполнение условия

для всех

, где

удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка

Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:

где

Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:

функция матье дифференциальное уравнение

Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.

Литература

1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4.

2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.

3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. – М. – 1979. – 832 с.:ил.