Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля (стр. 1 из 2)
Вычисление радиальных функций матье-ханкеля
Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ
Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.
Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:
, (1)где
- некоторая вещественная положительная константа и 
- оператор Лапласа.Эллиптические координаты
, допускающие разделение переменных связаны с декартовыми: 
, 
.Полагая
в методе разделения переменных, получаем уравнения: 
, 
,где
- константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.Дифференциальное уравнения Матье имеет вид
, (2)где обычно переменная
имеет вещественное значение, а 
- заданный вещественный ненулевой параметр.Собственные значения
и граничные условия 
(3)соответствуют чётным функциям Матье
, а собственные значения 
и граничные условия 
(4)нечётным функциям Матье
В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом:
, 
, 
, 
.Собственные значения
, отвечающие функциям , , , , обозначаются через 
, 
, 
, 
.Модифицированное уравнение Матье
(5)получается из уравнения Матье (2) подстановкой
. В зависимости от того, будет в (5) 
или 
, это уравнение имеет либо решение 
, либо решение 
, которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).
Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода:
, 
, 
, 
.Вычисление функций Матье I рода
Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка
, 
(6)удовлетворяющие в нуле условию
, если 
(7) 
, если 
И на бесконечности условию
~ 
, 
(8)где
- задано, а ( ) - собственные значения задачи (2), (3), (4), 
Параметр
используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций: 
Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.
Введём замену переменных:
(9) 
(10)Здесь
- "масштабирующая" функция, положительная на 
, удовлетворяющая условию 
при , её выбор находится в нашем распоряжении.Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для
и 
: 
(11) 
(12)где
и 
.Для совместного решения задач Коши для
и используется следующий приём. Функцию ищем в точках 
. На каждом из отрезков 
вспомогательные функции 
находятся, как решение задач Коши 
(13)где
.Поскольку для любых решений
и 
, уравнений (12) и (13) справедливо соотношение 
, получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления 
, 
,