Интервальный анализ дохода трамвайного парка в очередные сутки с применением доверительной вероятности (стр. 2 из 2)
, 
.Вероятность того, что такой интервал накроет
, обозначим: 
Она зависит от чисел
и 
. Выберем вероятность накрывания дисперсии, например, 
и воспользуемся таблицами для вычисления и . Для этого вычислим:(1-α)/2=0,1 – погрешность слева; (1+α)/2=0,6 – погрешность справа, k=n-1=5 – число степеней свободы.
Значит
=1,610; =9,24.Интервал: (0,113; 0,646) – доверительный интервал для дисперсии с вероятностью покрытия 0,8.
Задание 2
Условие
В продолжение задания 1. Существенно ли изменились условия проведения опыта, если очередная серия наблюдений привела к следующим данным? Поставить этот вопрос на языке теории вероятностей и получить ответ.
11,84; 12,50; 11,70; 11,72; 11,81; 11,78; 11,70.
Решение
Новые суточные доходы трамвайного парка: 
п2=7.
Перед нами стоит вопрос: «Существенно ли изменились условия проведения опыта, если очередная серия наблюдений привела к следующим данным, т.е. изменились ли математическое ожидание и дисперсия в новой серии наблюдений?»
Предполагается, что над случайной величиной X проведены
независимых испытаний, а над Y - 
независимых испытаний.Пусть случайные величины X и Y независимы и каждая подчиняется одному и тому же нормальному закону распределения.
Нормальный закон распределения определяется функцией распределения или плотностью вероятностей, которые зависят только от двух констант - mи
. Пусть дисперсии X и Y одинаковы. Тогда если математические ожидания X и Y одинаковы, то условия проведения опыта полностью совпадают.Найдем оценки
и 
: 
(млн.руб); 
(млн.руб).Если действовать согласно интуиции, то можно прийти к такому выводу: если в результате наблюдений случайная величина
примет значение, сильно отличающееся от нуля, то следует, что математические ожидания X и Y неодинаковы. Но как понять, что значит «сильно отличаться от нуля», а что – «не сильно»? Для этого нам необходимо найти границу.Рассмотрим случайную величину:
Возьмем какое-либо число
, которое назовем пороговым числом, т.е. границей между значениями t, достаточно сильно отличающимися от 0 и не сильно. Тогда:1) если |t |>
, то проверяемая гипотеза отвергается;2) если |t |
, то отвергать гипотезу не будем.Но данные наблюдений всегда зависят от случая, поэтому мы можем отвергнуть справедливую гипотезу и допустить ошибку. Выберем устраивающую нас достаточно малую вероятность такой ошибки β.
. 
.Пусть β=0,05. Нужно использовать таблицу для погрешностей, но т.к. ее нет, найдем φ=1- β=0,95.
По таблицам Стьюдента
=2,20.Сравним tи
: | 5,4 |>2,20 
гипотеза отвергается, и M(X) 
M(Y).Таким образом, с вероятностью ошибки 0,05 можно считать, что условия проведения опыта существенно изменились.
Задание 3
Условие
В продолжение задания 1. Можно ли утверждать, что указанные в задании 1 данные говорят о существенном изменении условий проведения опыта, если известно, что для проведения этих наблюдений математическое ожидание рассматривающейся случайной величины составляло 12,42?
Решение
У нас имеется случайная величина X, закон распределения которой близок к нормальному закону. Нам нужно ответить на вопрос: «Справедливо ли, что математическое ожидание X равно заданной константе m, где m=12,42?» Если нет, то условия проведения нашего опыта существенно изменились. Предполагается, что над случайной величиной проведены n независимых испытаний.
Введем оценку математического ожидания для X:
Интуитивно мы можем сделать вывод по такому правилу: если после наблюдений случайная величина
примет значение, сильно отличающееся от нуля, то условия проведения опыта существенно изменились. Но, опять же, нужно найти данную границу. Рассмотрим случайную величину: 
.Если |t |
, то условия проведения опыта существенно не изменились, если |t |> , то условия изменились. Но, как и в задаче 2, это может привести к ошибке. Выберем малую вероятность такой ошибки: β=0,05. 
.С помощью таблицы Стьюдента найдем
: =2,57.Сравним tи
: | 2,9 |>2,57 М(Х) m.Таким образом, условия проведения опыта существенно изменились с вероятностью ошибки 0,05.
Литература
математическое ожидание дисперсия
1.Рудерман С.Ю. Законы в мире случая. Том 1. Уфа, 2005
2.Рудерман С.Ю. Законы в мире случая. Том 2. Уфа: РИО БашГУ, 2005
3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1999
4.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002