Интервальный анализ дохода трамвайного парка в очередные сутки с применением доверительной вероятности (стр. 1 из 2)
ГОУ ВПО
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет
Кафедра вычислительной математики и кибернетики
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовой работе
по теории вероятности
на тему:
Интервальный анализ дохода трамвайного парка в очередные сутки с применением доверительной вероятности
Уфа 2010 г
Задание 1
Условие
Исходные данные – суточный доход трамвайного парка (млн. руб.):
12,56; 12,41; 12,52; 12,80; 12,98; 12,70.
Актуальные вопросы: Каков практический максимум суточного дохода трамвайного парка? В каких пределах практически будет находиться доход трамвайного парка в очередные сутки?
Сформулировать эти вопросы на языке теории вероятностей и дать на них ответы.
Высказать предположение (с обоснованием) о законе распределения суточного дохода трамвайного парка, найти оценки и построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии суточного дохода.
Решение
Исходный материал – данные наблюдений над суточным доходом трамвайного парка (млн. руб):
По условию известно:
х1=12,56; х2=12,41; х 3=12,52; х 4=12,80; х 5=12,98;х 6=12,70;n=6.
Под Xбудем понимать случайную величину - доход, который получит трамвайный парк в будущий день. Данная величина дискретна, так как получить доход , например, 89,623 руб нельзя, существуют определенные стандарты. Но для решения этой задачи мы перейдем к идеализации и допустим, что π, е и др.– все это возможные значения X. Тогда X – непрерывная случайная величина.
Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения, который зависит от условий проведения опыта. В нашем случае, опыт – это завтрашняя работа трамвайного парка. Учесть все условия невозможно. Может быть на следующий день резко возрастут цены на проезд в автобусах, и люди предпочтут пользоваться трамваями. А может это будет выходной, и людям просто захочется остаться дома. Так как же проанализировать условия?
1. В трамвайном парке работает множество трамваев. Пусть число трамваев – s.
2. Доход каждого трамвая завтра зависит от случая. Занумеруем трамваи:
| 1, | 2, | 3 | … | h |
 , |  , |  | … |  |
3. Общий доход, который получат трамваи завтра:
X=
+ + +…+ Т.е. Xможно представить в виде суммы большого числа слагаемых. В силу центральной предельной теоремы мы можем ожидать, что закон распределения X близок к нормальному.
Пусть с – доход, который будет получен трамвайным парком в очередные сутки.
Событие
является желательным событием. Найдем его вероятность.Нам известно, что вероятность того, что Xне превысит величины с, согласно нормальному закону распределения, зависит от с следующим образом:
где m=M(X) – математическое ожидание X,
=D(Х) – дисперсия, а 
- стандартное отклонение X. Эти константы можно оценить, используя формулы: 
(млн.руб) 
Следует отметить, что оценки
и 
зависят от данных наблюдений, которые зависят от случая, когда mи от случая не зависят.Зная оценки
и , можно приближенно ответить на вопрос: «Какой доход (величина с) получит трамвайный парк в очередной день, т.е. чтобы вероятность события 
была достаточно велика, например, равна 
?» Величину с найдем из уравнения: 
.Сделаем подстановку
, тогда:
, 
; при 
, 
; при 
, 
.Получим уравнение:
.Выберем вероятность
равной 0,95 (т.е. чтобы получить практический максимум суточного дохода трамвайного парка) и решим уравнение с помощью таблицы значений нормальной функции распределения. Получим: 
; 
(млн.руб)Таким образом, мы получили, что в очередные сутки практическим максимумом суточного дохода трамвайного парка будет являться 13,0132 млн. руб. Ответим на вопрос: «В каких пределах практически будет находиться доход трамвайного парка в очередные сутки?»
Общая формула:
, где 
функция Лапласа, а aи b– концевые точки.
Пусть aи bрасположены симметрично относительно m: a=m-s*
; b=m+s* . Тогда:
,т.к. функция нечетная. По таблицам найдем, что если s=1,96, то
.Таким образом, нам известно, что с вероятностью 0,95 Х будет находиться в пределах
. 
Т.е. доход трамвайного парка будет практически находиться в пределах от 12,262 до 13,077 млн. руб.
Как уже отмечалось, оценки
и зависят от случая, в то время как mи от случая не зависят. О местоположении этих констант на числовой оси дают представление доверительные интервалы, т.е. такие интервалы, для которых до проведения наблюдений известна вероятность того, что они в итоге наблюдений накроют константу.В нашем случае концевые точки доверительного интервала для mнаходятся по формулам:
, 
, где 
,а коэффициент
зависит от устраивающей нас вероятности накрывания интервалом константы m:
. можно найти из таблицы: при =0,95 и k=5(где k=(n-1) – число степеней свободы) =2,57.Доверительный интервал для m: (12,45; 12,89) с вероятностью покрытия 0,95.
Концевые точки доверительного интервала для
находятся по формулам: