Основные этапы становления и структура современной математики (стр. 5 из 5)
Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.
Сама процедура доказательства, определяемая в логике как демонстрация, протекает на основе правил вывода, опираясь на которые осуществляется переход от одних доказанных утверждений к другим, образуя последовательную цепь умозаключений. Наиболее распространены два правила (подстановки и вывода заключений) и теорема о дедукции.
Правило подстановки. В математике подстановка определяется как замена каждого из элементов a данного множества каким-либо другим элементом F (a) из того же множества. В математической логике правило подстановки формулируется следующим образом. Если истинная формула M в исчислении высказываний содержит букву, скажем A, то, заменив ее повсюду, где она встречается, произвольной буквой D, мы получим формулу, также истинную, как и исходная. Это возможно, и допустимо потому именно, что в исчислении высказываний отвлекаются от смысла высказываний (формул)... Учитываются только значения "истина" или "ложь". Например, в формуле M: A--> (BUA) на место A подставляем выражение (AUB), в результате получаем новую формулу (AUB) -->[(BU(AUB)].
Правило вывода заключений соответствует структуре условно-категорического силлогизма modus ponens (модус утверждающий) в формальной логике. Он имеет следующий вид:
a--> b
a .
b
Дано высказывание (a-> b) и еще дано a. Из этого следует b.
К примеру: Если идет дождь, то мостовая мокрая, дождь идет (a), следовательно, мостовая мокрая (b). В математической логике этот силлогизм записывается таким образом (a-> b)
a-> b.Умозаключение определяется, как правило, отделения для импликации. Если дана импликация (a-> b) и ее антецедент (a), то мы вправе присоединить к рассуждению (доказательству) также и консеквент данной импликации (b). Силлогизм носит принудительный характер, составляя арсенал дедуктивных средств доказательства, то есть, абсолютно отвечая требованиям математических рассуждений.
Большую роль в математическом доказательстве играет теорема о дедукции - общее название для ряда теорем, процедура которых обеспечивает возможность установить доказуемость импликации: A-> B, когда налицо логический вывод формулы B из формулы A. В наиболее распространенном варианте исчисления высказываний (в классической, интуиционистской и др. видах математики) теорема о дедукции утверждает следующее. Если дана система посылок G и посылка A, из которых, согласно правилам, выводимо B Г , A
B ( - знак выводимости), то следует, что только из посылок G можно получить предложение A--> B.Мы рассмотрели тип, который является прямым доказательством. Вместе с тем в логике используются и так называемые косвенные, есть не прямые доказательства, которые развертываются по следующей схеме. Не имея, в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям, и, стало быть, является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают - на основании закона исключенного третьего (a v
) - вывод об истинности тезиса.В математике широко используется одна из форм косвенного доказательства - доказательство от противного. Оно особенно ценно и, по сути, незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например, понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.
Операция доказательства от противного представлена в математической логике следующим образом. Дана последовательность формул G и отрицание A (G , A). Если из этого следует B и его отрицание (G , A
B, не-B), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекает истинность A. Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса.Использованная литература:
1. Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман, Высшая математика для экономистов, учебник, Москва, 2002;
2. Л.Д.Кудрявцев, Современная математика и ее преподавание, Москва, Наука, 1985 год;
3. О.И.Ларичев, Объективные модели и субъективные решения, Москва, Наука, 1987 год;
4. А.Я.Халамайзер, «Математика? – Забавно!», издание автора, 1989 год;
5. П.К.Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, Москва, 3 издание, 1967 год;
6. В.Е.Гмурман, Теория вероятности и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 1977 год;
7. Всемирная сеть Enternet.
[1] Колмогоров А.Н. – Математика, Математический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1988 год.
[2] Кудрявцев Л.Д. – Современная математика и ее преподавание, Москва, Наука, 1985 год.