Уравнения смешанного типа (стр. 2 из 6)
(6) 
(7) 
(8)Дифференцируя дважды равенство (8), учитывая уравнение (1) и условия (4), получим дифференциальное уравнение
(9)с граничными условиями
, (10) 
(11)Общее решение уравнения (9) имеет вид
где
и 
функции Бесселя первого и второго рода соответственно, 
модифицированные функции Бесселя, 
и 
произвольные постоянные, 
Подберём постоянные
и 
так, чтобы выполнялись равенства 
(13)Опираясь на асимптотические формулы функций Бесселя
и модифицированных функций Бесселя
в окрестности нуля, первое из равенств (13) выполнено при
и любых 
и 
, а второе равенство выполнено при 
Подставим полученные выражения для постоянных
и в (12), тогда функции 
примут вид 
Отметим, что для функций (14) выполнено равенство
Отсюда и из равенств (13) вытекает, что
является продолжением решения 
на промежуток 
и,наоборот, является продолжением решения 
на промежуток 
. Следовательно, функции (14) принадлежат классу 
и удовлетворяет уравнению (9) всюду на 
. Теперь на основании (10) и (11) получим систему для нахождения и 
:
(15)Если определитель системы (15):
(16)то данная система имеет единственное решение
(17) 
. (18)С учётом (17) и (18) из (14) найдём окончательный вид функций
(19)Где
(20) 
(21) 
(22) 
(23)Дифференцируя дважды равенство (7) с учётом уравнения (1) и условий (4) для функции
, получим однородное дифференциальное уравнение 
(24)с граничными условиями
(25)Решение задачи (24) и (25) будет иметь вид
(26) 
Аналогично для функции
получаем неоднородное уравнение 
(27)с граничными условиями
(28) 
(29)Общее решение уравнения (27) имеет вид
Равенства
будут выполняться при следующих значениях постоянных 
, 
при любых
и 
Подставим выражения для постоянных 
и 
в (30), тогда функции 
примут вид 
(31)Для нахождения
и 
на основании (28) и (29) получим систем 
(32)Если выполнено условие (16), то
и определяются по формулам: 
(33) 
, (34)Найденные значения
и по формулам (33) и (34) подставим в (31), тогда функции 
будут однозначно построены в явном виде: 
(35)Из формул (19), (26), (35) следует единственность решения задачи (2)
так как если 
на 
, то 
, 
для 
на 
Тогда из (6) 
имеем: 
Отсюда в силу полноты системы
