Уравнения смешанного типа (стр. 3 из 6)
в пространстве
следует, что функция 
почти всюду на 
при любом 
.Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 1. Если существует решение
задачи (2) 
то оно единственно только тогда, когда 
при всех 
Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (2)
существует, то оно единственно. Пусть при некоторых 
и 
нарушено условие (16), т. е. 
Тогда однородная задача (2) (где 
имеет нетривиальное решение 
Выражение для
на основании следующих формул 
приводим к виду
Поскольку при любом
и 
где
и 
положительные постоянные, то функция 
где
в силу теоремы Хилби 
имеет счётное множество положительных нулей.Следовательно,
при некоторых 
может иметь счётное множество нулей независимо от . Поскольку любое положительное число ,то оно может принимать значения, близкие к нулям 
Поэтому при больших n выражение 
может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема 
Чтобы такой ситуации не было, надо показать существование 
и 
таких, что при любом и больших справедлива оценка 
Представим (16) в следующем виде
(36)где
Как известно
функция 
строго убывает, функция 
строго возрастающая по , поэтому величина 
есть бесконечно малая более высокого порядка, чем
при больших . Поэтому рассмотрим только выражение 
Используя асимптотическую формулу функции
при 
Получаем
Где
Отсюда видно, что если, например,
где 
то при 
Тем самым справедлива следующая
Лемма 1. Существует
и постоянная 
такие, что при всех 
и больших справедлива оценка (37)Рассмотрим следующие отношения:
, 
Лемма 2. При любом
для достаточно больших n справедливы оценки: 
; 
; 
где
, 
здесь и в дальнейшем, положительные постоянные.Доказательство. С учётом (36) функция
примет вид
Оценим функцию
при 
и больших 
: 
.На основании поведений функций
в окрестности бесконечно-удалённой точки и леммы 1, получим 
(38)где
здесь и далее произвольные постоянные.При 0
и n>>1 в силу асимптотических формул имеем 
(39)Сравнивая (38) и (39) при любом
получим 
Далее вычислим производную
Оценим эту функцию при
и больших :