Уравнения смешанного типа (стр. 4 из 6)
(41)При
и больших фиксированных 
имеем 
(42)Из оценок (41) и (42) следует, что при всех
Вторую производную функции
вычислим следующим образом: 
Используя формулы ([1], стр. 90)
Получаем
Зная оценку (40) для
из последнего равенства при всех имеем 
Функция
с учётом (36) примет вид: 
.Оценим её, используя лемму 1 при 0
и больших n: 
(43)При
и больших фиксированных : 
(44)Из оценок (43) и (44) имеем:
(45)Вычислим производную
: 
.Оценим функцию
при 
и 
: 
(46)При
и имеем:
(47)Сравнивая (46) и (47) при всех
, получим 
Теперь вычислим вторую производную функции
Используя формулы
Получим
Отсюда на основании оценки (45) будем иметь
(48)Аналогично получаем оценку для функции
и 
: 
Лемма 3. При любом
для достаточно больших справедливы оценки: 
Доказательство. Используя
и функцию 
, определяемую формулой (19), представим в следующем виде: 
(49)Из (49) в силу леммы 2 получим оценки для функций
и 
Аналогичные оценки справедливы и для функций 
и 
Лемма доказана.Лемма 4. Пусть
то справедливы оценки:
(50) 
При получении оценок (50) дополнительно применяется теорема о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на
условию Гёльдера с показателем 
Теорема 2. Пусть
и выполнены условия (16) и (37). Тогда задача (2)-(5) однозначно разрешима и это решение определяется рядом 
(51)где функции
, 
определены соответственно по формулам (26), (35), (19).Доказательство. Поскольку системы функций
образуют базис Рисса, то если
, тогда функцию 
можно представить в виде биортогонального ряда (51), который сходится в 
при любом . В силу лемм 3 и 4 ряд (51) при любом 
из 
мажорируется сходящимся рядом
поэтому ряд (51) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области
. Следовательно, функция непрерывна на как сумма равномерно сходящегося ряда (51). Ряды из производных второго порядка в мажорируются также сходящимся числовым рядом