Уравнения смешанного типа (стр. 5 из 6)
Поэтому сумма
ряда (51) принадлежит пространству 
и удовлетворяет уравнению (1) в 
. Следствие 1. Построенное решение задачи (2)-(5) принадлежит классу и функция всюду в является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа 
уравнения (1) как особая линия устраняется.2. Нелокальная граничная задача II рода
Рассмотрим уравнение (1) в прямоугольной области
и исследуем сопряжённую относительно задачи 1 задачу.Задача 2. Найти в области
функцию , удовлетворяющую условиям: 
(52) 
; (53) 
(54) 
(55)где
и 
– заданные достаточно гладкие функции, причём 
, 
, 
Пусть
решение задачи (52)- (55). Вновь воспользуемся системами 
Рассмотрим функции
, (56) 
(57) 
(58)Дифференцируя дважды равенство (56) и учитывая уравнение (1), получим дифференциальное уравнение
(59)с граничными условиями
(60) 
(61)Следуя §1 решение задачи (59)-(61) построим в виде
(62)C учётом уравнения (1) продифференцируем дважды равенство (57). Получим для функции
однородное дифференциальное уравнение 
(63)с граничными условиями
(64)Решение задачи (63) и (64) имеет вид
(65)Дифференцируя дважды равенство (58) и учитывая уравнение (1) и условия (54), получаем неоднородное уравнение для функции
(66)с граничными условиями
, (67) 
. (68)Решение этой задачи определяется по формуле
(69)Из формул (62), (65), (69) следует единственность решения задачи (52)-(55), так как если
на 
то 
, 
, 
для 
на 
Тогда из (56)-(58) имеем: 
, 
, 
Отсюда в силу полноты системы
в пространстве
следует, что функция 
почти всюду на 
при любом 
.Теорема 3. Если существует решение
задачи (52)-(55), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех n выполняется условие (16).Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (52)-(55) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых
и 
нарушено условие (16), т. е. 
. Тогда однородная задача (52)-(55) (где 
) имеет нетривиальное решение 
Теорема 4. Если
, 
и выполнены условия (16) и (37), то существует единственное решение задачи (52)-(55) и оно представимо в виде суммы ряда 
где функции
, 
определены соответственно по формулам (65), (62), (69).Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2.
Следствие 2. Построенное решение
задачи (52)-(55) принадлежит классу 
и функция всюду в является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа уравнения (1) как особая линия устраняется.Литература
1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн.
М.: Наука, 1966. Т. 
2. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс.
М.: ИЛ, 
3. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач/ А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. – 1969. – Т. 185. – № 4. – С. 739 – 740.
4. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных /
А.В. Бицадзе. – М.: Наука, 1981.– 448 с.
5. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций.I./ Г.Н. Ватсон.–М.: ИЛ, 1940.– 421 с.
6. Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. – М.: ИЛ, 1960. – 421 с.
7. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов /Т.Д. Джураев – М.: ИЛ, 1961. – 208 с.