Уравнения смешанного типа (стр. 1 из 6)

Содержание

Введение

1. Нелокальная граничная задача Ι рода

2. Нелокальная граничная задача II рода

Литература

уравнение спектральный нелокальный дифференциальный

Введение

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа стали изучаться систематически с конца 40-х годов, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения в околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже И.Н. Векуа были найдены приложения этих уравнений и в других разделах физики и механики, в частности, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Также повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в гидродинамике, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга, М. Проттера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты, полученные ими и их последователями приведены в монографиях А.В. Бицадзе [4], Л. Берса [2], К.Г. Гудейлея [6], Т.Д. Джураева [7], М.М. Смирнова [14], Е.И. Моисеева [9], К.Б. Сабитова [12], М.С. Салахитдинова [13].

Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [15], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. Ионкина, В.И. Жегалова [8], А.И. Кожанова, А.М. Нахушева, Л.С. Пулькиной [10], О.А. Репина [11], А.Л. Скубачевского, А.П. Солдатова и других.

Особо выделим работу А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.

Первые фундаментальные исследования вырождающихся гиперболических уравнений были выполнены Ф. Трикоми в начале прошлого столетия. Для уравнения

(0.1)

он поставил следующую задачу: пусть

область, ограниченная при гладкой кривой с концами в точках и оси а при характеристиками уравнения (0.1). Требуется найти функцию ( отрезок оси ), удовлетворяющую уравнению (0.1) в и принимающую заданные значения на Ф. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при определённых дополнительных требованиях относительно поведения в гладкости граничных данных и характера дуги . Эта краевая задача и уравнение (0.1) называются сейчас задачей и уравнением Трикоми.

М.А. Лаврентьев с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа предложил новое модельное уравнение

(0.2)

Подробное исследование задачи Трикоми и её различных обобщений для уравнения (0.2) провёл А.В. Бицадзе. Уравнение (0.2) называют сейчас уравнением Лаврентьева-Бицадзе.

Нахушев А.М. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области .

В работах Сабитова К.Б. исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа

в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.

Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применён при обосновании корректности постановки нелокальных начально-граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.

Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения следующих задач:

Рассмотрим вырождающееся уравнение

(0.3)

где

в прямоугольной области

заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.

Задача 1. Найти в области

функцию , удовлетворяющую условиям:

; (0.4)

; (0.5)

(0.6)

(0.7)

где

и заданные достаточно гладкие функции, причём

Для того же уравнения исследована и следующая задача:

Задача 2. Найти в области

функцию , удовлетворяющую условиям:

(0.8)

; (0.9)

(0.10)

(0.11)

где

и – заданные достаточно гладкие функции, причём

, ,

Для указанных задач установлены критерии их однозначной разрешимости. Решения получены явно в виде соответствующих рядов.

1. Нелокальная граничная задача Ι рода

Рассмотрим вырождающееся уравнение смешанного типа

(1)

где

в прямоугольной области заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.

Задача 1. Найти в области

функцию , удовлетворяющую условиям:

; (2)

; (3)

(4)

(5)

где

и заданные достаточно гладкие функции, причём

Пусть

решение задачи (2) Рассмотрим функции