Аффинные преобразования (стр. 2 из 5)
рис.3
3)Основная теорема. Каковы бы ни были 2 аффинных репера
и 
, существует единственное аффинное преобразование, которое первый переводит во второй.Существование. Рассмотрим преобразование а, которое произвольную точку А, имеющую в репере R координаты (х,у), переводит в точку А', имеющую в репере R' те же координаты (рис.4). Очевидно, что а(R)=R'. Покажем, что а - аффинное преобразование.
рис. 4
Образом прямой l, имеющей в репере R уравнение ах+ву+с=0, будет линия l', которая в R' имеет то же самое уравнение. Значит, l'- прямая(рис.5). Следовательно, образом произвольной прямой является прямая.
рис. 5
Пусть теперь точка С(х,у) делит отрезок, соединяющий точки А(х1,у1), В(х2,у2) в отношении
А так как образы этих точек- А',В',С' имеют те же координаты(в другой системе), то
и, следовательно, 
Итак для преобразования α выполнены оба требования определения, значит α- аффинное преобразование.
Единственность доказательства от противного. Пусть существует два аффинных преобразования α1 и α2, при которых
. Тогда найдется такая точка А, что 
, где 
(рис.6). Обозначим через К точку пересечения прямых ОА и Е1Е2(если эти прямые параллельны, то надо взять Е1А, ОЕ2, если и эти прямые параллельны, надо взять Е2А и ОЕ1). Так как 
, то образом точки К будет точка К'1-точка пересечения прямых 
. В силу определения аффинного преобразования: 
Аналогично для преобразования α2.
Таким образом
рис. 6
Первое из этих равенств показывает, что точки К'1 и К'2 совпадают, а тогда из второго следует А'1=А'2, что противоречит А. Полученное противоречие доказывает теорему.
Основную теорему можно сформулировать иначе: каковы бы ни были два треугольника, существует единственное аффинное преобразование, переводящее один в другой.
Доказанная основная теорема делает понятие аффинного преобразования конструктивным. Аффинное преобразование задается парой произвольных аффинных реперов.
4)Уравнения аффинного преобразования получаются из основной теоремы и формул преобразования аффинных координат точно так же, как и уравнения движения и подобия. Пусть даны два репера
и 
(рис. 7).рис. 7
O'(c1,c2),
OM'=OO'+O'M'
получаются уравнения:
Эти уравнения записаны в аффинной системе координат. В частности они действуют и в прямоугольных декартовых координатах.
2.2 Свойства аффинного преобразования
1. Образом параллельных прямых являются параллельные прямые.
Доказательство от противного. Предположим, что образом параллельных прямых l и m являются пересекающиеся в точке А' прямые l' и m'(рис.8). В силу взаимной однозначности преобразования точка имеет прообраз, который обозначим А. Но так как А'єl', то Аєl. Аналогично Аєm. Это противоречит параллельности прямых l и m.
рис. 8
2.При аффинном преобразовании сохраняется отношение двух отрезков, расположенных на одной прямой:
(рис.9)В самом деле, по определению аффинного преобразования:
.
рис. 9
3.При аффинном преобразовании сохраняется отношение параллельных отрезков.
Дано: АВ||СD. По свойству 2 будет также А'В'||С'D'(рис.10)
Надо доказать:
рис. 10
Для доказательства проведем АС, затем DL||AC. Построим также А'С' и D'L'||A'C'. По свойству 2 прямая DL переходит в D'L' и значит,
. Теперь по определению: 
. Но AL=CD, A'L'=C'L', поэтому отсюда сразу получается требуемое.4.При аффинном преобразовании угол и отношение произвольных отрезков, вообще говоря, не сохраняются, так как любой треугольник можно перевести в любой другой. Поэтому высота и биссектриса треугольника преобразуются обычно в другие линии, медиана же переходит в медиану, так как середина отрезка переходит в середину.
5. При аффинном преобразовании параллелограмм переходит в параллелограмм, трапеция в трапецию.
2.3 Эквивалентные фигуры
Аналогично понятию равенства и подобия фигур вводится понятие их аффинной эквивалентности.
Фигура F1 называется аффинно эквивалентной фигуре F2, если F1 можно аффинным преобразованием перевести в F2.
Корректность этого определения вытекает из того, что аффинные преобразования образуют группу и, следовательно, введенная здесь аффинная эквивалентность обладает транзитивностью, рефлексивностью, симметричностью.
Отметим некоторые классы аффинно эквивалентных фигур.
1). Все треугольники аффинно эквивалентны (следует из основной теоремы).
2). Все параллелограммы аффинно эквивалентны.
3). Для аффинной эквивалентности трапеций необходимо и достаточно, чтобы их основания были пропорциональны.
2.4 Перспективно-аффинное соответствие двух плоскостей
Предположим, что две плоскости wи w' пересекаются по линии хх (черт. 1). Зададим какую-нибудь прямую l, пересекающую обе плоскости. Отметим на плоскости w произвольную точку А и спроектируем ее на плоскость w', проводя через А прямую, параллельную l. Пусть проектирующая прямая пересечет плоскость w' в точке А'. Точку А' можно рассматривать как проекцию точки А на плоскость w'. Такая проекция называется параллельной и определяется заданием прямой l.
Из самого построения проекции А' точки А видно, что в свою очередь точку А можно рассматривать как проекцию точки А' на плоскость w. Таким образом, параллельная проекция представляет собой аппарат, имеющий совершенно одинаковое значение по отношению к обеим плоскостям wи w'. Она относит каждой точке (А) первой плоскости вполне определенную точку (А') второй, и обратно. Мы получаем попарное соответствие точек плоскостей wи w'. Это соответствие является взаимно однозначным, т. е. каждой точке одной плоскости соответствует единственная точка второй, и обратно.
Соответствие плоскостей wи w', установленное с помощью параллельной проекции, называется перспективно- аффинным или родственным.
Если рассматривают процесс перехода от одной из данных плоскостей (например, w) к другой плоскости (w'), при котором каждая точка (А) одной плоскости (w) переходит в соответствующую точку (А') другой плоскости (w'), как односторонний, то его называют преобразованием плоскости (w) в плоскость (w')- В этом случае точку А называют прообразом, а точку А' - ее образом.
Проектируя параллельно плоскость w на плоскость w' , производим перспективно-аффинное преобразование плоскости w в плоскость w' .
Можно также совокупность всех точек плоскости w называть полем точек w и говорить о преобразовании поля точек w в поле точек w'.
Поставим себе задачу изучить свойства перспективно-аффинного соответствия плоскостей.
Займемся, прежде всего, вопросом о двойных, или неподвижных, точках нашего соответствия, т. е. о таких точках, которые совпадают сосвоими соответственными точками. Так как каждая двойная точка должна принадлежать как одной, так и другой плоскости, то они должны лежать на линии пересечения хх плоскостей wи w'. С другой стороны, очевидно, что каждая точка прямой хх есть двойная, так как она сама себе соответствует. Прямая называется осью соответствия. Согласно предыдущему ось соответствия может быть определена как геометрическое место двойных точек.
Рассмотрим далее какую-нибудь прямую АВ на плоскости w (черт. 1). Параллельная проекция этой прямой на плоскость w' есть прямая А'В'. Причем обе прямые либо пересекаются на оси хх, либо обе параллельны оси.