Аффинные преобразования (стр. 5 из 5)

Способ решения 2. Примем точку А за начало координат и возьмем такие координатные векторы:

. Абсциссу точки C обозначим а. Имеем: А(0,0), В(0,1), С(а,1), D(1,0). Уравнение прямой CD найдем по двум точкам.

CD: х-у(1-а)-1-0

Решая это уравнение совместно с уравнением оси ОУ(х≠0) находим Q(0,1/(1-a))

Теперь найдем координаты точки Р. Решая совместно уравнения BD: x+y-1=0, AC: x-ay=0 находим: Р (а/(1+а),1/(1+а))

Находим уравнение PQ: 2х+у(1-а)-1=0 после чего находим координаты точек х и у: х(1/2,0), у(а/2,0), что и доказывает требуемое.

2)На сторонах треугольника АВС отложим отрезки АА1=1/3АВ, ВВ1=1/3ВС, СС1=1/3СА. Докажите, что точки пересечения медиан треугольника АВС и А1В1С1 совпадают(рис.11).

Решение. 1 способ. Возьмем правильный треугольник А'В'С' и сделаем аффинное преобразование:

α:

.

Тогда треугольник А1В1С1 перейдет тоже в правильный треугольник А'1 В'1С'1, так как А'А'1=В'В'1=С'С'1.

Точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1, А'В'С' и А'1 В'1С'1 обозначим соответственно О, О1, О', О'1, причем α(0)=0', α(01)=0'1. Поэтому достаточно показать, что 0'=0'1.

2 способ аналитический.

Дан правильный шестиугольник АВСDEF. Постройте его аффинный образ.

Решение. Зададим аффинное преобразование α:

. Точку С' найдем из того, что В'С'||A'D' и B'C'=1/2A'D'. Точку Е' найдем из того, что D'E'||A'B' и D'E'=A'B'

Аналогично найдем F'. Разумеется, ход построения может быть каким-либо иным.

Перспективно-аффинное преобразование

Нетождественное аффинное преобразование называется перепективно-аффинным или родственным преобразованием (родством), если оно имеет по крайней мере две неподвижные точки.

Найдем аналитическое выражение перспективно-аффинного преобразования. Репер (О,E1,E2) выберем так, чтобы точки О и Е1 были неподвижными точками данного перспективно-аффинного преобразования f. Пусть образ E'2 точки E2 в репере (О,E1,E2) имеет

координаты (k1, k). Так как О(0,0)-О(0, 0), E1 (1, 0)-E1(1, 0),

E2(0, 1) –E'2(k1,k), то формулы (1) § 48 принимают вид:

x'=x + k1y, y' = ky. (1)

Пользуясь этими формулами, рассмотрим свойства перспективно-аффинного преобразования.

1. Любая точка прямой, проходящей через две неподвижные точки перспективно-аффинного преобразования, является неподвижной точкой.