Аффинные преобразования (стр. 1 из 5)
Глава I.Понятие о геометрическом преобразовании
1.1 Что такое геометрическое преобразование?
Осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия имеют то общее, что все они „преобразуют" каждую фигуру Fв некоторую новую фигуру F1. Поэтому их называют геометрическими преобразованиями.
Вообще, геометрическим преобразованием называют всякое правило, позволяющее для каждой точки А на плоскости указать новую точку A', в которую переводится точка А рассматриваемым преобразованием. Если на плоскости задана какая-либо фигура F, то множество всех точек, в которые переходят тонки фигуры Fпри рассматриваемом преобразовании, представляет собой новую фигуру F., В этом случае говорят, что F' получается из F при помощи рассматриваемого преобразования.
Пример. Симметрия относительно прямой l является геометрическим преобразованием. Правило, позволяющее по точке A найти соответствующую ей точку А', в этом случае заключается в следующем: из точки А опускается перпендикуляр АР на прямую lи на его продолжении за точку Р откладывается отрезок РА'=АР.
Сложение геометрических преобразований
Предположим, что мы рассматриваем два геометрических преобразования, одно из которых называем „первым", а другое - „вторым". Возьмем на плоскости произвольную точку А и обозначим через А' ту точку, в которую переходит А при первом преобразовании. В свою очередь точка А' переводится вторым преобразованием в некоторую новую точку А". Иначе говоря, точка А" получается из точки А при помощи последовательного применения двух преобразований - сначала первого, а затем второго.
Результат последовательного выполнения взятых двух преобразований также представляет собой геометрическое преобразование: оно переводит точку А в точку А". Это „результирующее" преобразование называется суммой первого и второго рассмотренных преобразований.
Пусть на плоскости задана какая-либо фигура F. Первое преобразование переводит ее в некоторую фигуру F' . Вторым преобразованием эта фигура F' переводится в некоторую новую фигуру F''. Сумма же первого и второго преобразований сразу переводит фигуру Fв фигуру F".
Пример. Пусть первое преобразование представляет собой симметрию относительно точки О1 а второе преобразование - симметрию относительно другой точки О2. Найдем сумму этих двух преобразований.
Пусть А — произвольная точка плоскости. Предположим сначала, что точка A не лежит на прямой O1O2. Обозначим через А' точку, симметричную точке А относительно О1, а через A" — точку, симметричную точке A' относительно О2 . Так как О1O2 — средняя линия треугольника АА'А'' то отрезок АА" параллелен отрезку О1O2 и имеет вдвое большую длину. Направление от точки А к точке А" совпадает с направлением от точки
О1 к точке О2. Обозначим теперь через МNтакой вектор, что отрезки MNи O1 O2 параллельны, отрезок МNв два раза длиннее отрезка O1О2 и лучи МNи O1O2 имеют одно и то же направление. Тогда АА" = МN, т. е. точка А" получается из точки А параллельным переносом на вектор МN.То же справедливо и для точки, лежащей на прямой O1О2.
Окончательно мы получаем: сумма симметрии относительно точки O1 и симметрии относительно точки O2 представляет собой параллельный, перенос.
1.2 Движения
Осевая симметрия, поворот (в частности, центральная симметрия) и параллельный перенос имеют то общее, что каждое из этих преобразований переводит любую фигуру F на плоскости в равную ей фигуру F' . Преобразования, обладающие этим свойством, называются движениями. Гомотетия представляет собой пример преобразования, не являющегося движением. Действительно, каждое движение переводит любую фигуру в равную ей фигуру, т. е. изменяет лишь положение фигур на плоскости; гомотетия же изменяет и размеры фигур.
Роль движений в геометрии
Движения играют в геометрии чрезвычайно важную роль. Они не изменяют ни формы, ни размеров фигур, меняя лишь расположение фигуры. Но фигуры, отличающиеся лишь своим расположением на плоскости, с точки зрения геометрии совершенно одинаковы. Именно поэтому их и называют в геометрии «равными фигурами». Ни одно свойство геометрической фигуры не отличается от соответствующего свойства равной ей фигуры. Так, например, равные треугольники имеют не только одинаковые стороны, но и одинаковые углы, медианы, биссектрисы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей и так далее.
На уроках геометрии мы всегда считали равные фигуры (т. е. такие, которые можно совместить при помощи движения) одинаковыми или неразличимыми. Такие фигуры часто принимают за одну и ту же фигуру. Именно поэтому мы можем сказать, что, например, задача построения треугольника по двум сторонам а, bи заключенному между ними углу С имеет только одно решение. На самом деле, конечно, треугольников, имеющих данные стороны а и b и заключенный между ними угол С данной величины, можно найти бесконечно много. Однако все эти треугольники одинаковы, равны, поэтому их можно принять за «один» треугольник.
Таким образом, геометрия изучает те свойства фигур, которые одинаковы у равных фигур. Такие свойства можно назвать «геометрическими свойствами». Другими словами: геометрия изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения. Но фигуры, отличающиеся только расположением (равные фигуры), — это те, которые можно совместить с помощью движения. Поэтому мы приходим к следующему определению предмета геометрии; геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях.
Движения в геометрии и физике
Итак, понятие движения играет в геометрии первостепенную роль. Движения («наложения») использовались в VI классе для определения равных фигур, для доказательства признаков равенства треугольников; понятие движения, как мы видели выше, позволяет также дать описание предмета геометрии.
Между тем в определениях понятия равенства фигур и понятия движения имеется пробел. В самом деле, равные фигуры определялись (в VI классе) как такие фигуры, которые могут быть совмещены наложением (т. е. движением). Движения же были определены выше как такие преобразования, которые переводят два многоугольника F1 и Fтаковы, что существует многоугольник F', гомотетичный Fи равный F1 , то углы многоугольника Fсоответственно равны углам многоугольника F' и стороны многоугольника Fсоответственно, пропорциональны сторонам многоугольника F'. Но у многоугольника F те же самые углы и стороны, что и у равного ему многоугольника F1. Следовательно, многоугольники F1и F подобны в том смысле, в каком это понималось в курсе геометрии VIII класса.
Обратно, пусть многоугольники F1 и F таковы, что их углы соответственно равны и стороны соответственно пропорциональны. Отношение сторон многоугольника F1 к соответствующим сторонам многоугольника Fобозначим через k. Далее, обозначим через F' многоугольник, получающийся из Fгомотетией с коэффициентом k (и каким угодно центром гомотетии. В таком случае в силу теоремы многоугольники F' и F1 будут иметь соответственно равные стороны и углы, т. е. эти многоугольники будут равны. Поэтому многоугольники F1 и Fбудут подобны и в смысле приведенного здесь определения подобия.
Глава II.Аффинные преобразования
2.1 Аффинные преобразования плоскости
Аффинным преобразованием α называется такое преобразование плоскости, которое всякую прямую переводит в прямую и сохраняет отношение, в котором точка делит отрезок.
На рис.1: L'= α(L), A'=α(A), B'=α(B), C'=α(C),
| 
рис. 1
Преобразования - движение и подобие - являются частными случаями аффинных, так как в силу свойств движения и подобия для них выполнены все требования определения аффинных преобразований.
Приведем пример аффинного преобразования, не сводящегося к ранее рассмотренным. С этой целью сначала рассмотрим параллельное проектирование плоскости на плоскость.
Пусть даны плоскости: w и w1 прямая l(направление проектирования), не параллельная ни одной из этих плоскостей (рис.2). Точка Аєw называется проекцией точки А1єw1, если АА1||l , то прямая АА1 называется проектирующей прямой. Параллельное проектирование представляет собой отображение плоскости w1 на w.
рис.2
Отметим следующие свойства параллельного проектирования.
1) Образом всякой прямой а1 является прямая.
В самом деле, прямые, проектирующие точки прямой а1, образуют плоскость (она проходит через а1 параллельно l), которая при пересечении с wдает образ прямой а1 – прямую а(рис.2).
2) Отношение, в котором точка делит отрезок, сохраняется, т.е.
(рис.2)Сразу следует из теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми.
Перейдем непосредственно к построению примера аффинного преобразования.
Возьмем два экземпляра плоскости w и один из них переместим в другое положение w1(рис.3). Новое положение какой-либо точки Аєwобозначим А1єw1. Теперь плоскость w1 спроектируем в каком-нибудь положении на w, проекцию точки А1 обозначим А'.
Получилось преобразование плоскости w на себя, при котором
. В силу симметричных свойств параллельного проектирования для данного преобразования выполняются оба требования определенного аффинного преобразования, следовательно, построенное сейчас преобразование –перспективно- аффинное.