Використання можливостей системи Wolfram Mathematica при вивчені математичного аналізу (стр. 3 из 5)
1.5 Інтерфейс системи Wolfram Mathematica
Після установки пакета в головному меню створюються ярлики на два файли: Mathematica і Mathematica Kernel.Справа в тому, що ярлик Mathematica Kernel запускає ядро пакету, яке робить всі обчислення, а ярлик Mathematica запускає інтерфейсну частину пакету.
Інтерфейс системи Mathematica реалізує відображення вікон, палітр, панелей інструментів, знаків і розташування їх у різному вигляді і в різних місцях екрану монітора. Типовий робочий вид програми показано на рис.1.4.1.Він складається з основного меню програми (у верхній частині екрана), вікна робочого документа або «блокноту» (notebook) і панелі (палітри) для введення _пец символів і знаків найбільш вживаних математичних операцій (в Mathematica є можливість виклику ще шести стандартних панелей, крім того, користувач сам може створити подібну панель з набором потрібних йому _пец символів і команд) [12].
Основне меню програми містить кілька сотень найменувань пунктів меню, підменю, команд, функцій.Вивчити їх відразу неможливо: з короткого опису не можна зрозуміти зміст.Зміст пунктів меню, підменю, команд можна зрозуміти тільки в процесі роботи з системою.
Вікно робочого документа або блокнот складається з комірок.Грубо комірку можна порівняти з параграфом у текстовому редакторі.Вся інформація, яка є в блокноті, зберігатися в його комірках.Як тільки в порожньому новому файлі набирається хоча б один символ, Mathematica створить для нього комірку.Комірка також є мінімальною одиницею, яку можна обчислити.Тобто, якщо у комірці є дві формули, обчислити їх окремо не вийде.Усі комірки можна розділити на три типи:
• комірки введення – в них задаються команди (формули), які будуть обчислені;
• комірки результату – у них Mathematica виводить результат обчислень;
• не обчислювані комірки – комірки з текстом, заголовки і все інше, що вводить користувач і обчислювати не треба [7, c. 59].
Будь-які клітинки можна об’єднувати і розбивати за допомогою команд меню Cell: Divide Cell (розбити клітинку) і Merge Cells (об’єднати комірки).
Введення даних здійснюється в комірки. Пакет підтримує кирилицю і грецькі літери нарівні з англійським алфавітом.Можна називати змінні російськими літерами, також як і грецькими.У той же час, ідентифікатори розрізняються по регістру, тобтозмінна A не те саме, що змінна a.
Для швидкого доступу до функцій, розробники Mathematica ввели спеціальні типи вікон, які називаються палітрами.Палітри містять вікна з кнопками, які виконують дії.Дії можуть бути абсолютно різними: від додавання грецької букви, до розкриття дужок у алгебраїчному виразі.Різні палітри доступні через меню Palettes.Огляд стандартних палітр можна знайти у додатку 3 [12].
Wolfram Mathematica має розвинені засоби форматування тексту.За допомогою їх можна розбивати блокнот на глави і розділи, вводити пояснювальний текст і т.д.Стилі можна задати як всьому блокноту, так і окремій комірці цілком, або частково. Також можна змінити відображення всіх стандартних стилів і додати нові.
Розділ 2. Використання системи Wolfram Mathematica при вивчені математичного аналізу
2.1Обчислення границь функції
wolfram mathematica математичний аналіз функція
Багато функцій при наближенні аргументу до деякого значення або до деякої області значень прагнуть до певної границі.Так, функція sin(x)/x при х, яка прагне до нуля (позначимо це як х→ 0), дає границю 1 у вигляді усувної невизначеності 0/0.
Чисельні математичні системи, так само як і більшість програм на звичайних мовах програмування, не сприймають вираз 0/ 0 → 1 як об'єктивну реальність.Їх захисний механізм налаштований на примітивне правило - нічого не можна ділити на 0.Отже, обчислення sin(x)/x при х = 0 буде супроводжуватися видачею помилки типу «Ділення на 0».Звичайно, в даному конкретному випадку можна передбачити особливий результат – видати 1 при х = 0.Але це окремий випадок.У цілому ж подібні системи «не розуміють» поняття границі.
У системі Mathematica границі визначаються за допомогою вбудованої функції Limit, яка має вигляд:
Limit [f(х), х → х0],
де:
• f (х) - функція, границю якої необхідно визначити;
• х - аргумент функції f(х);
• х0 - граничне значення х.
На рис.2.1.1 представлені приклади застосування функції Limit.Ця функція дозволяє не тільки чисельно знаходить границі функцій, заданих аналітично, але і дозволяє знайти границю у вигляді математичного виразу. Це свідчить про високі інтелектуальні можливості системи Mathematica.
При роботі з функцією Limit використовуються наступні опції:
• Analytic – вказує, чи є невідома функція аналітичною.Опція використовується у вигляді Analytic→True (або False), значення за замовчуванням – Automatic.Великого практичного значення ця опція не має;
• Direction - вказує напрямок, в якому відбувається наближення до границі.Опція використовується у вигляді Direction→-1 (або +1), за замовчуванням вибір залишається за системою (Automatic).Значення +1 означає границю ліворуч, а -1 – праворуч (здавалося б, повинно бути навпаки, але задано саме так).
Застосування опції Direction пояснюють приклади, показані на рис.2.1.2.
З прикладів видно, що границі при наближенні до них зліва і справа різні.Графік дає пояснення наближень і відповідей.З графіка видно, що функція має розрив безперервності і при наближенні до нього ліворуч (+1), границею буде від’ємне значення функції (-π / 2), і при наближенні праворуч (-1) – позитивне (π / 2).
2.2Обчислення похідних
До числа найбільш часто використовуваних математичних операцій належить обчислення похідних функцій як в аналітичній, так і в символьній формі.Для цього використовуються такі функції:
• D [f, х] – повертає частинну похідну функції f по змінній х;
• D [f, {х, n}] – повертає частинну похідну n-го порядку по х;
• D [f, xl, х2 ,...] – повертає змішану похідну;
• Dt [f, х] – повертає узагальнену похідну функції f по змінній х;
• Dt [f] – повертає повний диференціал f.
Для функції D існує опція NonConstants, яка дозволяє задати список об'єктів, що знаходяться в неявній залежності від змінних диференціювання.За замовчанням цей список порожній.Для функції Dt є опція Constants, яка, навпаки, вказує символи, які є константами (за замовчанням їх список також порожній).На практиці застосовувати дані опції приходиться рідко.
Існує ще одна функція, Derivative [nl, n2 ,...] [f], - основна (загальна) форма подання функції, отриманої в результаті nl-кратного диференціювання функції f по першому аргументу, n2-кратного - по другому аргументу і т. д.
Приклади застосування функції D і Dt для обчислення похідних в аналітичному вигляді показані на рис.2.2.1 й рис. 2.2.2, відповідно.
Приклади на рис.2.2.3 ілюструють обчислення похідних від першого до третього порядку включно для функції f[х], заданої користувачем.
З останнього прикладу видно, що для обчислення вищих похідних можливе послідовне застосування функції D.
У цілому засоби для символьного обчислення похідних, які є в ядрі системи Mathematica, охоплюють практично всі важливі типи математичних виразів.Вони можуть включати в себе як елементарні, так і спеціальні математичні функції, що вигідно відрізняє систему Mathematica від деяких простих систем символьної математики, таких як Derive.
3. Обчислення інтегралів
Одна з найважливіших операцій – обчислення первісних і визначених інтегралів у символьному вигляді. Зауважимо, що визначений інтеграл може бути представлений як аналітичним, так і чисельним значенням.Для обчислення чисельних значень визначених інтегралів розроблено ряд наближених методів – від простих (прямокутників і трапецій) до складних, які автоматично адаптуються до характеру зміни підінтегральної функції f(x).
Для інтегрування в системі Mathematica використовуються наступні функції:
• Integrate [f, x] – повертає первісну (невизначений інтеграл) підінтегральної функції f по змінній х;
• Integrate [f, {x, xmin, xmax}] – повертає значення визначеного інтеграла з межами від xminдо xmax;
• Integrate [f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax },...] – повертає значення кратного інтеграла з межами від xminдо xmaxпо змінній х, від yminдо ymaxпо зміннійу і т. д.
Для більш зручного вживання цих функцій, також як і для похідної і границі, існують кнопки з відповідними значками на палітрі Basic Math Assistant
.Приклади обчислення невизначених інтегралів представлені на рис. 2.3.1.
Тут вхідна комірка у першому прикладі представлена у форматі введення (Input-Form), а в інших прикладах – в стандартному форматі (StandardForm), при використанні палітри.При записі інтегралів останній формат кращий зважаючи на наочності, оскільки при цьому знаки інтеграла мають природний математичний вигляд.
Наступна серія прикладів (рис. 2.3.2) ілюструє обчислення визначених інтегралів звичайного виду та інтегралів з межами-функціями.
Система Mathematica має найширші можливості обчислення інтегралів.Ядро системи увібрало в себе формули інтегрування з усіх відомих довідників.
Mathematica здатна обчислювати навіть кратні інтеграли з фіксованими і змінними, верхнім або нижнім, межами.
На рис.2.3.3 представлено обчислення декількох подвійних визначених інтегралів.Хоча обчислення подвійного інтеграла передбачено в синтаксисі функції Integrate, це не завжди дає результат.Як правило, обчислення кратних інтегралів краще виробляти, використовуючи послідовне обчислення однократних інтегралів, вкладених один в одного.
При обчисленні складних інтегралів, наприклад які не мають представлення через елементарні функції, система Mathematica 2 зверталася до своїх пакетів розширень в спробі знайти рішення, яке може бути представлене через спеціальні математичні функції.Mathematica наступних версій вже не акцентує увагу користувача на свої проблеми і, як правило, видає результат інтегрування.Однак деколи він може мати досить незвичайний вигляд (рис. 2.3.4).