Кривые, заданные в полярных координатах (стр. 2 из 3)

Если от золотого прямоугольника АВСDотрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник ЕFСD, но меньших размеров. Если продолжить этот процесс далее, а затем соединить плавной кривой вершины квадратов, как это сделано на рис. 8, то получим логарифмическую спираль.

Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:

• расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию;

• последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию;

• образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны другдругу.

Логарифмическая спираль часто встречается в природе и связана с определенными видами роста. У очень многих моллюсков последовательные витки раковины не одинаковы, а все более и более утолщаются. Во многих случаях приближенные значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию. Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать живой, она образуется растущим организмом. Один из простейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. Во многих раковинах обнаруживается поразительно близкое совпадение между результатами измерений и теоретическими значениями, ожидаемыми для точной логарифмической спирали (рис. 9). В подсолнухе семечки расположены по характерным дугам, близким, как показывают соответствующие измерения, к дугам логарифмической спирали. В связи с подобными фактами некоторые ученые считают логарифмическую спираль кривой, являющейся одним из выражений законов органического роста.

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом². На этом свойстве основаны применения логарифмической спирали в технике. Так, вращающиеся ножи в различных режущих машинах (рис. 10) имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания (угол между лезвием ножа и направлением его скорости вращения) остается постоянным вдоль всей кромки подвижного ножа, что обеспечивает меньший его износ.

Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на изменение направления течения, и, следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью.

В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в 1638 г. Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой отношение длины дуги к соответствующему радиус-вектору является постоянным.

Логарифмическая спираль - кривая с «твердым» характером. Она не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или разжать эту спираль относительно ее полюса - то же самое, что повернуть ее на определенный угол. Это свойство логарифмической спирали было открыто Якобом Бернулли, называвшим ее spiramirablis— дивная спираль. Открытые Бернулли свойства логарифмической спирали оставаться неизменной при различных преобразованиях настолько поразили ученого, что он был склонен придать им мистический смысл. Якоб Бернулли завещал высечь логарифмическую спираль на своем надгробном камне, сопроводив изображение латинской фразой «Eademmutateresurgo» — «Измененная, возрождаюсь прежней».

Далее рассмотрим несколько примеров кривых, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции. Построение этих кривых можно выполнить по точкам, где

принимает значения от 0 до 2π.

Семейство роз Гранди

=sink ,

где k - положительная постоянная.

В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671—1742) создал розы. Нет, вовсе не те прекрас-ные цветы, о которых вы, наверное, подумали. Розы Гранди радуют нас правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы — они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси.

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как

| sin(k

| ≤1,

то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза, хотя читателю, обратившему внимание на рис. 11,б, может показаться, что эта кривая больше напоминает пропеллер).

Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3

≥0, решая которое находим область допустимых углов: 0≤ ,

В силу периодичности функции sin3

(ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке 0 , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть0≤ . Если угол изменяется от 0 до 1 , sin3 изменяется от 0 до 1, и, следовательно, изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от , то радиус изменяется от 1 до 0. Такимобразом, при изменении угла от 0 до , точкана плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до . Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением .

Функция

— периодическая с периодом π, кроме того,

sin(2(

,

поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.

Функция

= sin2 на отрезке [0; монотонновозрастает с 0 до 1 , а на отрезке [ ; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.

Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:

• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;

• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна

.

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.

Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2kлепестков при четном kи из k: лепестков при k нечетном. Если k — рациональное число (k=

, то роза состоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k - иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихся лепестков.