Кривые, заданные в полярных координатах (стр. 3 из 3)

Лемниската Бернулли

р² = 2соs2

.

Лемниската Бернулли — одна из самых замечательных алгебраических линий. Из вида уравнения кривой следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик). Для точек лемнискаты должно выполняться нера-венство соs2

, поэтому она расположена между прямыми у=±х. Отметим также, что = при = 0.

Покажем, как построить лемнискату Бернулли. Но сначала отметим, что, поскольку квадрат полярного радиуса неотрицателен, должно выполняться неравенство соs2

. Решая это неравенство, находим область допустимых углов:

0≤

,

В силу периодичности функции соs2

(ее период равен π) достаточно построить график для углов в промежутке а в остальных случаях использовать периодичность

Итак, пусть

Если угол изменяется от до π ,то cos2 изменяется от 0 до 1 и, следовательно, изменяется от 0 до

Если угол

изменяется от π до , то изменяется от до 0 .Таким образом при изменении угла от точка на плоскости описывает кривую, напоминающую половинку от восьмерки, и возвращается в начало координат. Вторая половинка получится, когда угол изменяется в пределах от 0 до и от до 2π.

Лемниската Бернулли обладает рядом оригинальных геометрических и механических свойств:

• угол, составленный касательной к лемнискате в произвольной точке с радиус-вектором точки касания равен 2

• перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо ее точки, делит площадь соответствующего сектора пополам;

• эта кривая (в переводе с латинского lemniscatus— украшенный лентами) есть множество точек М, произведение расстояний которых r₁, и r₂ до двух данных точек F₁, и F₂(фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния.

Впервые лемниската была рассмотрена Якобом Бернулли (1654—1705) в 1694 г. Впоследствии Бернулли много часов своих занятий уделял лемнискате и нашел несколько ее интересных свойств.

В технике лемниската используется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвай-ных путях. Таким образом она обеспечивает плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.

В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что линия поля, создаваемого двумя параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой.

Кардиоида

логарифмическая спираль полярный координата лемниската

= 2(1 — соs ).

Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности такого же радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (в переводе с греческого kardieidos— сердцеобразная).

Покажем способ построения кардиоиды.

Сначала выберем опорную окружность и ее радиус ОА примем за 1, а прямую ОА — за ось абсцисс, причем точка А произвольно выбирается на опорной окружности. Проведем другую окружность с центром в точке М, произвольно взятой на опорной окружности, и радиусом МА. Повторив затем такие построения для достаточно большого числа точек М, равномерно распределенных по опорной окружности, увидим, что огибающая всех окружностей радиуса МА и есть кардиоида (рис. 13).

Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользяший по профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скорость поступательного движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с vна —v), что вызывает быстрое изнашивание механизма.

Одна из составных частей в механизме для поднятия и опускания семафора очерчена по кардиоиде. При этом скорость поднятия' или опускания достигает максимального значения в середине хода семафора, что очень важно.

Кардиоида также хорошо знакома конструкторам и возникает при возвратно-поступательных движениях стержней в двигателях.

В заключение заметим, что полярные координаты широко применяются при определении длин кривых, площадей фигур, объемов и площадей поверхностей тел вращения, а также в задачах на определение центра масс и момента инерции тела. Кривые, рассмотренные в статье, нередко возникают при решении различных задач в электротехнике, акустике, гидростатике и механике.

Логарифмическая спираль в природе и технике

В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянства давления нуж-но, чтобы угол резания сохранял постоянное значению, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала (рис. 64).

В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используется с максимальной производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору используют при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенных так, как показано на рисунке 65, и через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов, причем одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая — против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т. е. отношение угловых скоростей этих колес, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях — взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам (рис. 66). Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и ;роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины — в подсолнухе семечки расположены по дугам,близким к логарифмической спирали и т. д. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.