Застосування частинних похідних (стр. 2 из 5)

На векторі

на відстані від його початку візьмемо точку .

Тоді

.

Обчислимо тепер приріст

функції при переході від точки до точки у напрямі вектора :

.

Якщо існує границя відношення

при , то цю границю називають похідною функції

в точці

за напрямом вектора

і позначають ,тобто

.

Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом. Припустимо, що функція

диференційована в точці M.Тоді її повний приріст у цій точці можна записати так:

,

де

– нескінченно малі функції при .

Оскільки

то

.

Перейшовши до границі при

, отримаємо формулу для обчислення похідної за напрямом

.(8)

З формули (З.8) випливає, що частинні похідні є окремими випадками похідної за напрямом. Дійсно, якщо

збігається з одним із ортів , або ,то похідна за напрямом збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщо , то , тому

.

Подібно до того як частинні похідні

характеризують швидкість зміни функції в напрямі осей координат, так і похідна показує швидкість зміни скалярного поля в точці за напрямом вектора .

Абсолютна величина похідної

відповідає значенню швидкості, а знак похідної визначає характер зміни функції в напрямі (зростання чи спадання).

Очевидно, що похідна за напрямом

, який протилежний напряму , дорівнює похідній за напрямом , взятій з протилежним знаком.

Справді, при зміні напряму на протилежний кути

зміняться на , тому

.

Фізичний зміст цього результату такий: зміна напряму на протилежний не впливає на значення швидкості зміни поля, а тільки на характер зміни поля. Якщо, наприклад, в напрямі

поле зростає, то в напрямі воно спадає, і навпаки.

Якщо поле плоске, тобто задається функцією

то напрям вектора цілком визначається кутом . Тому, поклавши у формулі (8) та , отримаємо

.

Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції

в точці називають градієнтом функції в цій точці і позначають .Отже,

. (9)

Зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці за довільним напрямом показує така теорема.

Теорема. Похідна функції

у точці

за напрямом вектора

дорівнює проекції градієнта функції в цій точці на вектор

, тобто

.(10)

Доведення

Нехай

– кут між градієнтом (9) і одиничним вектором (рис. 4), тоді з властивостей скалярного добутку [1] отримаємо

Зазначимо деякі властивості градієнта.

1. Похідна в даній точці за напрямом вектора

має найбільше

значення, якщо напрям вектора

збігається з напрямом градієнта, причому

.(11)

Справді, з формули (10) випливає, що похідна за напрямом досягає максимального значення (11), якщо

, тобто якщо напрям вектора збігається з напрямом градієнта.

Рисунок 4 – Зв'язок між градієнтом і похідною за напрямом

Таким чином, швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі градієнта.Зрозуміло, що у напрямі, протилежному до напряму градієнта, поле найшвидше зменшуватиметься.

2. Похідна за напрямом вектора, перпендикулярного до градієнта, дорівнює нулю. Інакше кажучи, швидкість зміни поля у напрямі, перпендикулярному до градієнта, дорівнює нулю, тобто скалярне поле залишається сталим.

Справді, за формулою (10)

, якщо .

Вектор-градієнт у кожній точці поля

перпендикулярний до поверхні рівня, яка проходить через цю точку.Це твердження випливає з того, що напрямний вектор нормалі до поверхні рівня

, яка проходить через точку має координати (п. 1)