Застосування частинних похідних (стр. 3 из 5)
.4. Справедливі рівності:
.Доведення
Доведемо, наприклад, третю рівність. Маємо:
Решта рівностей доводяться аналогічно.
3. Формула Тейлора для функції двох змінних
Якщо функція однієї змінної
має на відрізку 
неперервні похідні до 
-го порядку включно, то справджується формула Тейлора: 
(12) 
.Нехай
,тоді
, тому формулу (12) можна записати у вигляді 
.(13)В аналогічному вигляді формулу Тейлора можна отримати і для функції багатьох змінних. Розглянемо функцію двох змінних.
Нехай функція
в області 
має неперервні частинні похідні до -го порядку включно. Візьмемо дві точки 
та 
такі, щоб відрізок 
належав області .Введемо нову змінну
: 
, 
, 
.(14)При
за цими формулами отримаємо координати точки 
, а при 
– координати точки 
. Якщо змінюватиметься на відрізку 
, то точка 
опише весь відрізок .Тоді вздовж цього відрізка функція буде функцією однієї змінної : 
.(15)Запишемо формулу (13) для функції (15) при
: 
.(16)Обчислимо диференціали, що входять у формулу (16). З рівностей (14) і (15) маємо
.Оскільки
, то 
.(17)Аналогічно
, 
.(18)Продовжуючи цей процес, знайдемо
, 
. (19)Крім того приріст
.(20)Підставивши вирази (17 – 20) у формулу (14), отримаємо
,(21) 
.(22) 
Рисунок 5 – Локальний максимум (мінімум) функції
Формулу (21) називають формулою Тейлора для функції двох змінних з залишковим членом 
у форму Лагранжа. Цю формулу використовують для наближених обчислень. Для різних значень n з формули (21) можна отримати рівності для наближеного обчислення значень функції
. Абсолютну похибку цих наближених рівностей оцінюють через залишковий член (22).Формула Тейлора (21) для функції двох змінних нагадує формулу Тейлора (13) для функції однієї змінної. Але насправді, якщо розкрити вирази для диференціалів у формулі (21), то отримаємо складнішу формулу, ніж для
функції однієї змінної. Наприклад, при
формула (21) має вигляд: 
(23)4. Локальні екстремуми функції двох змінних
Нехай функція
визначена в області ,а точка 
.Якщо існує окіл точки , який належить області і для всіх відмінних від точок 
цього околу виконується нерівність 
,то точку називають точкою локального максимуму (мінімуму) функції , а число 
– локальним максимумом (мінімумом) цієї функції (рис. 5). Точки максимуму та мінімуму функції називають її точками екстремуму.Це означення можна перефразувати так. Покладемо
, тоді 
.Якщо приріст функції
при всіх достатньо малих за абсолютною величиною приростах 
і 
, то функція в точці 
досягає локального максимуму 
(локального мінімуму 
). Інакше кажучи, в околі екстремальної точки прирости функції мають один і той самий знак.Теорема 1 (необхідні умови екстремуму). Якщо функція має в точці 
локальний екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку за змінними x та 
дорівнюють нулю або не існують.
Доведення
Нехай
– точка екстремуму. Тоді функція 
буде функцією однієї змінної. Ця функція має екстремум у точці ц 
, тому її похідна 
дорівнює нулю або не існує.