Застосування частинних похідних (стр. 4 из 5)

Аналогічно, розглянувши функцію

отримаємо, що

дорівнює нулю або не існує.

Подібна теорема справедлива для функції n змінних. Точку

, в якій частинні похідні першого порядку функції дорівнюють нулю, тобто , називають стаціонарною точкою функції

.

Стаціонарні точки та точки, в яких частинні похідні не існують, називаються критичними точками.

Таким чином, якщо функція в будь-якій точці досягає екстремуму, то це може статися лише в критичній точці. Проте не всяка критична точка є точкою екстремуму, тобто теорема 1 встановлює лише необхідні, але не достатні умови екстремуму. Наприклад, частинні похідні функції

дорівнюють нулю в точці . Але ця функція у вказаній точці екстремуму не має, тому що в досить малому околі точки вона набуває як додатних (при ), так і від'ємних (при ) значень.

Слід зазначити, що в задачах з практичним змістом, як правило, відомо, що функція має екстремум. Якщо така функція має лише одну критичну точку, то ця точка і буде точкою екстремуму.

Теорема 2 (достатні умови екстремуму). Нехай у стаціонарній точці

і деякому її околі функція

має неперервні частинні похідні другого порядку. Якщо

,

то функція

має в точці

екстремум, причому максимум при

і мінімум при

. Якщо

, то в точці

функція

екстремуму не має.

Доведення

Запишемо формулу Тейлора (23) для функції

в околі стаціонарної точки .Враховуючи, що , отримаємо:

У випадку мінімуму для довільних достатньо малих значень

та права частина цієї рівності має бути додатною, а у випадку максимуму – від'ємною.

Внаслідок неперервності других частинних похідних для цього достатньо, щоб диференціал другого порядку в точці

зберігав знак для малих значень

та .

Введемо такі позначення

, , , тоді

.

Нехай

– кут між відрізком , де – точка з координатами і віссю ; тоді . , тому при маємо

Розглянемо тепер п’ять можливих випадків.

1. Нехай

і , тоді , тому при досить малих значеннях приріст , тобто функція має в точці максимум.

2. Аналогічно доводимо, що коли

і , то функція має в точці мінімум.

Нехай

і . Якщо з точки рухатися вздовж променя

, то . Якщо взяти таким, щоб або , то

.

Отже, при малих значеннях

приріст в околі точки не зберігає знак, тому ця точка не є точкою екстремуму функції .

4. Аналогічно встановлюємо, що коли

і , то функція в точці також не має екстремуму.

5. Нехай

і , тоді і

.

При досить малих кутах

знак величини збігається зі знаком , тому знак величини залежатиме від знака множника . Але знак величини змінюється при і , бо . Отже, в достатньо малому околі точки знак не збігається, тобто функція в цій точці екстремуму не має.