Застосування частинних похідних (стр. 5 из 5)

Зауваження. З доведення теореми 2 випливають так звані другі достатні умови екстремуму: функція

має мінімум у стаціонарній точці , якщо диференціал другого порядку в цій точці , і максимум – якщо .

Можна довести, що другі достатні умови екстремуму справедливі для функцій довільного числа змінних.

На основі теорем 1 і 2 отримаємо правило дослідження диференційовних функцій двох змінних на екстремум. Щоб знайти екстремум диференційовної функції

, необхідно:

1) знайти стаціонарні точки функції із системи рівнянь:

2) у кожній стаціонарній точці

обчислити вираз

;

якщо

, то – точка екстремуму функції, причому точка максимуму при і мінімуму при ; якщо , то точка не є точкою екстремуму функції;

3) обчислити значення функції

у точках максимуму та мінімуму.

Якщо

, то ніякого висновку про характер стаціонарної точки зробити не можна і потрібне додаткове дослідження.

5. Найбільше та найменше значення функції

диференціал функція дотична нормаль екстремум

Відомо, що функція

, задана і неперервна в замкненій та обмеженій області , досягає в цій області найбільшого і найменшого значень. У внутрішніх точках області диференційовна функція може набувати цих значень лише в точках локального екстремуму. Тому потрібно знайти всі стаціонарні точки функції, які належать області ,розв'язавши систему рівнянь , і обчислити значення функції в цих точках. Потім потрібно дослідити функцію на екстремум на межі області .Використовуючи рівняння межі, цю задачу зводять до знаходження абсолютного екстремуму функції однієї змінної [8]. Серед здобутих таким чином значень функції всередині і на межі області вибирають найбільше і найменше значення.

Зазначимо, що загального методу знаходження найбільшого та найменшого значень для довільної неперервної функції в замкненій та обмеженій області

немає.