Застосування частинних похідних (стр. 1 из 5)

ЗАСТОСУВАННЯ ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ

1. Дотична площина та нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних

Нехай задано поверхню

. (1)

Точка

належить цій поверхні і функція диференційована в точці , причому не всі частинні похідні в точці дорівнюють нулю, тобто

.

Розглянемо довільну криву

, яка проходить через точку , лежить на поверхні (1) і задається рівнянням

де точці

відповідає параметр .

Оскільки крива лежить на поверхні, то координати її точок задовольняють рівняння (1):

. (2)

Диференціюючи рівність (2), маємо:

. (3)

Ця рівність показує, що вектори (рис. 1)

ортогональні, причому другий з них є напрямним вектором дотичної до кривої

у точці .

Крім того, з рівності (3) випливає, що дотичні до всіх кривих, які проходять через точку

і лежать на поверхні (1), ортогональні до одного й того самого вектора . Тоді всі ці дотичні лежать в одній і тій самій площині, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці

.

Знайдемо рівняння дотичної площини. Оскільки ця площина проходить через точку

перпендикулярно до вектора , то її рівняння має вигляд.

.(4)

Нормаллю до поверхні в точці

називають пряму, що проходить через точку

перпендикулярно до дотичної площини в цій точці.

Оскільки нормаль проходить через точку

і має напрямний вектор , то канонічні рівняння нормалі мають такий вигляд:

. (5)

Якщо рівняння поверхні задано в явній формі

, то, поклавши , отримаємо

,

тоді рівняння (4) і (5) наберуть вигляду:

;(6)

.(7)

Рисунок 1 – Дотична площина та нормаль до поверхні

Рисунок 2 – Геометричний зміст повного диференціала функції

З'ясуємо геометричний зміст повного диференціала функції

. Якщо у формулі (6) покласти , то ця формула запишеться у вигляді

.

Права частина цієї рівності є повним диференціалом функції

в точці , тому .

Таким чином, повний диференціал функції двох змінних у точці

дорівнює приросту аплікати точки на дотичній площині до поверхні в точці , якщо від точки перейти до точки (рис. 2).

Зауваження 1.Ми розглянули випадок, коли функція

диференційована в точці і .

Якщо ці умови не виконуються в деякій точці (її називають особливою), то дотична та нормаль в такій точці можуть не існувати.

Зауваження 2.Якщо поверхня (1) є поверхнею рівня для деякої функції

, тобто , то вектор

буде напрямним вектором нормалі до цієї поверхні рівня.

2. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт

Область простору, кожній точці

якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини , називають скалярним полем.Інакше кажучи, скалярне поле – це скалярна функція разом з областю її визначення.

Рисунок 3.3 – Вектор

Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.

Для того щоб задати скалярне поле, достатньо задати скалярну функцію

точки і область її визначення.

Якщо функція

не залежить від часу, то скалярне поле називають стаціонарним, а скалярне поле, яке змінюється з часом, – нестаціонарним. Надалі розглядатимемо лише стаціонарні поля.

Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат

,то точка в цій системі матиме певні координати і скалярне поле u стане функцією цих координат:

.

Якщо скалярна функція

залежить тільки від двох змінних, наприклад x і , то відповідне скалярне поле називають плоским;якщо ж функція залежить від трьох змінних: x, і , то скалярне поле називають просторовим.

Геометрично плоскі скалярні поля зображують за допомогою ліній рівня, а просторові – за допомогою поверхонь рівня.

Для характеристики швидкості зміни поля в заданому напрямі введемо поняття похідної за напрямом.

Нехай задано скалярне поле

. Візьмемо в ньому точку і проведемо з цієї точки вектор , напрямні косинуси якого .