Применение интегралов к решению прикладных задач (стр. 2 из 9)
Чертёж 5.
3). Найти площадь одного витка архимедовой спирали
(чертёж 6).Имеем по формуле (3)
, в то время как площадь круга радиуса 
будет 
. Площадь витка спирали равна трети площади круга (этот результат был известен ещё Архимеду). чертёж 6.4). Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой
, 
(чертёж 5). Имеем по формуле (4) 
.Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади круга радиуса a.
1.2 Объём тела
Начнём с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты H, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура (P), имеет объём, равный произведению площади основания на высоту:
. Возьмём многоугольники
и 
, соответственно содержащиеся в (P), так, чтобы их площади 
и 
стремились к P. Если на этих многоугольниках построить прямые призмы 
и 
высоты H, то их объёмы 
и 
будут стремиться к общему пределу , который и будет объёмом нашего цилиндра
Рассмотрим теперь некоторое тело (V), содержащееся между плоскостями
и 
, и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси x (чертёж 7). Допустим, что (чертёж 7) все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе x, - обозначим её через P(x) – будет непрерывной функцией от x (для 
).Если спроектировать без искажения два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси x, то они могут либо содержаться одно в другом (чертёж 8а), либо частично одно на другое налегать, (чертёж 8) или лежать одно вне другого (чертёж 8б и 8в). Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси x, оказываются всегда содержащимися одно в другом.
В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объём, который выражается формулой
. (5)Для доказательства разобьём отрезок
на оси x точками 
на части и разложим плоскостями 
, проведёнными через точки деления, всё тело на слои. Рассмотрим i-й слой, содержащийся между плоскостями и 
(i=0,1,…,n-1). В промежутке 
функция P(x) имеет наибольшее значение 
и 
. Если сечения, отвечающие различным значениям x в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, , то все они при сделанном предположении будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь , и содержать в себе наименьшее, с площадью . Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты 
, то больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании сделанного вначале замечания объёмы этих цилиндров будут, соответственно, 
и 
.Из входящих цилиндров составится тело (T), а из выходящих – тело (U). Их объёмы равны, соответственно,
и 
и, когда стремится к нулю 
, имеют общий предел (5). Значит таков же будет и объём тела(V). 
Важный частный случай, когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположении сечений, представляют тела вращения. Вообразим на плоскости xy кривую, заданную уравнением
, где 
непрерывна и неотрицательна. Станем вращать ограниченную её криволинейную трапецию вокруг оси x (чертёж 9а и 9б). Полученное тело (V), очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо сечения его проектируются на перпендикулярную к оси x плоскость в виде концентрических кругов. Здесь 
, так что 
.Если криволинейная трапеция ограничена (чертёж 9)
и сверху и снизу кривыми
и 
, то очевидно, 
, (7)Хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться. Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие тела, которые получаются путём сложения или вычитания из тел, удовлетворяющих упомянутому предположению.
В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело (V) имеет объём, то он выражается формулой (6).
Примеры: 1). Пусть эллипс
вращается вокруг оси x. Так как 
, то для объёма эллипсоида вращения найдём 
.Аналогично для объёма тела, полученного от вращения вокруг оси y, найдём выражение
. Предполагая же в этих формулах 
, мы получим для объёма щара радиуса r известное значение 
.2). То же – для ветви циклоиды
, 
( 
). Параметрическое уравнение кривой облегчают выполнение подстановки , 
в формуле 
. Именно: