Применение интегралов к решению прикладных задач (стр. 3 из 9)
. 
3). Найти объём трёхосного эллипсоида, заданного каноническим уравнением
(чертёж 10).Плоскость, перпендикулярная к оси x и проходящая через точку M(x) на этой оси, пересечёт эллипсоид по эллипсу. Уравнение проекции его (без искажения) на плоскость yz будет таково: (чертёж 10).
, (x=const).Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно,
и 
,а площадь выразится так:
.Таким образом, по формуле (5) искомый объём
.1.3 Длина дуги
Для начала введём понятия о спрямляемой дуге и её длины.
Рассмотрим на плоскости кривую AB, заданную параметрическими уравнениями
, 
, ( 
), (8) 
где функции
и 
предполагаются непрерывными. Будем считать, что точка A отвечает значению 
, а точка B значению 
. При этом пусть кратных точек на кривой нет, так что различным значениям параметра 
отвечают и различные точки кривой.Если считать точки кривой (чертёж 11) расположенными в порядке возрастания параметра
(т.е. из двух точек ту принимать за следующую, которая отвечает большему значению параметра), то этим на кривой создаётся определённое направление (чертёж 11). Возьмём теперь на кривой AB ряд точек 
, идущих одна за другой в указанном направлении. Им отвечает ряд возрастающих значений параметра 
. Впишем в кривую AB ломаную 
и обозначим через p её периметр. Конечный предел s для периметра p, при стремлении к нулю наибольшей из сторон 
ломаной (p), называется длинойдуги: 
. Если такой предел существует, то сама кривая называется спрямляемой.Перейдём непосредственно к выражению длины дуги интегралом.
Предположим дополнительно, что функции
и , фигурирующие в уравнениях (8) незамкнутой кривой, имеют непрерывные производные 
и 
.При этих условиях, как мы докажем, кривая спрямляема и длина дуги выражается формулой
. (9)Будем исходить из разбиения промежутка
точками 
на части длины 
. Этим значениям t отвечают вершины ломаной 
, вписанной в дугу 
, и длину её можно определить как предел периметра P ломаной при стремлении 
к нулю. Положим 
, 
и 
, 
.Длина i-ого звена
вписанной ломаной выразится так: 
.Применив к приращениям
и 
функции порознь формулу конечных приращений, получим: 
, 
, причём о значениях 
и 
мы ничего не знаем, кроме того, что оба они содержатся между 
и 
. Имеем теперь 
, так что для периметра всей ломаной получается следующее выражение: 
.Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде
на 
, то преобразованное выражение 
, очевидно, представит собой интегральную сумму как раз для интеграла (9). При стремлении 
к нулю эта сумма и будет своим пределом упомянутый интеграл. Для того, чтобы показать, что к тому же пределу стремится и периметр P ломаной, достаточно обнаружить, что разность 
стремится к нулю.С этой целью произведём оценку этой разности
. Элементарное неравенство 
, если применить его к каждому слагаемому написанной выше суммы в отдельности, даст нам 
. Ввиду непрерывности функции 
, по любому заданному 
найдётся такое 
, 
лишь только 
. Если взять все 
, так что 
и 
. Это и доказывает наше утверждение.Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных координатах
, то, принимая x за параметр, из формулы (9), как её частный случай, получим 
. (9а)Наконец, и случай полярного задания кривой
также приводится к параметрическому с помощью обычных формул перехода 
, 
; роль параметра здесь играет 
. Для этого случая 
, 
, так что 
и 
. (9б)