Применение интегралов к решению прикладных задач (стр. 5 из 9)

Статические моменты

и кривой позволяют легко установить положение от центра тяжести . Точка C обладает тем свойством, что если в ней сосредоточить всю «массу» S кривой (выражаемую тем же числом, что и длина), то момент этой массы относительно любой оси совпадает с моментом кривой относительно этой оси. В частности, если рассмотреть моменты кривой относительно осей координат, то найдём , , откуда , . (13)

Из формулы для ординаты

центра тяжести мы получаем замечательное геометрическое следствие. В самом деле, имеем , откуда . Но правая часть этого равенства есть площадь Q поверхности, полученной от вращения кривой AB, в левой же части равенства обозначает длину окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении её около оси x, а S есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим к следующей теореме Гульдина:

Величина поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести C кривой (чертёж 12).

Эта теорема позволяет установить координату

центра тяжести кривой, если известны её длина S и площадь Q описанной ею поверхности вращения. Вот тому примеры:

1). Пользуясь теоремой Гульдина, определить положение центра тяжести дуги AB (чертёж 13) круга радиуса r. Так как эта дуга симметрична относительно радиуса OM, проходящего через её середину M, то её центр тяжести Cлежит (чертёж 13) на этом радиусе, и для полного определения положения центра тяжести необходимо лишь найти его расстояние

от центра O. Выбираем оси, как указано на чертеже, и обозначим длину дуги AB через s, а её хорды - через h. От вращения рассматриваемой дуги вокруг оси x получается шаровой пояс, площадь поверхности Q которого равна . По теореме Гульдина та же поверхность равна , так что и . В частности, для полуокружности , и .

2). Определить центр тяжести ветви циклоиды (чертёж 5):

,

Если принять в расчёт симметрию, то сразу ясно, что

. Учитывая же результаты примера 2) п.1.4., легко получить затем: .

1.6 Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую фигуру

(чертёж 14), ограниченную сверху кривой AB, которая задана явным уравнением . Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что (чертёж 14) поверхностная площадь их (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Можно принять, что =1, т.е. что масса любой части нашей фигуры измеряется её площадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.

Чтобы определить статические моменты

и этой фигуры относительно осей координат, выделим какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (см. чертёж). Приняв эту полоску приближённо за прямоугольник, видим, что масса её (выражаемая тем же числом, что и площадь) будет . Для определения соответствующих элементарных моментов и предположим всю массу полоски сосредоточенной в её центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси x на расстоянии , от оси y – на расстоянии ; последнее выражение можно заменить просто через x, ибо отброшенная величина , умноженная на массу , дала бы бесконечно малую второго порядка. Итак, имеем , . Просуммировав эти элементарные моменты, придём к результатам

, , (14)

причём под y разумеется функция

.

Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты

, центра тяжести фигуры. Если через P обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести

, , откуда

, . (15)

И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы для ординаты

центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем .

Правая часть этого равенства выражает объём V тела, полученного от вращения плоской фигуры

около оси x (формула 6: ), левая же часть выражает произведение площади этой фигуры P на - длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина:

Объём тела вращения плоской фигуры около не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры:

.

Заметим, что формулы (14),(15) распространяются на случай фигуры, ограниченной кривыми и снизу и сверху (чертёж 2). Например, для этого случая

, . (14а)