Применение интегралов к решению прикладных задач (стр. 6 из 9)

Если вспомнить формулу (2), то легко усмотреть, что теорема Гульдина справедлива также и для этого случая.

Примеры:

1). Найти статические моменты

, и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой , осью x и ординатой, соответствующей абсциссе x. Так как , то по формулам (14)

, .

С другой стороны, площадь (по формуле 1)

.

В таком случае, по формулам (15),

,.

Пользуясь значениями

и , легко найти – по теореме Гульдина – объём тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг конечной ординаты. Например, если остановиться на последнем случае, так как расстояние центра тяжести от оси вращения есть , то искомый объём будет .

2). Найти центр тяжести фигуры, ограниченной ветвью циклоиды

, и осью x . Воспользовавшись п.1.1. 4) и п.1.2. 2), по теореме Гульдина легко установить . По симметрии .

1.7 Механическая работа

Пусть точка M движется по прямой (этим случаем мы ограничимся для простоты), причём на перемещении s на неё вдоль той же прямой действует постоянная сила F. Из элементов механики известно, что тогда работа W этой силы выразится произведением

. Чаще, однако, случается, что величина силы остаётся постоянной, а непрерывно меняется от точки к точке, и для выражения работы снова приходится прибегнуть к определённому интегралу.

Пусть путь s, проходимой точкой, будет независимой переменной. При этом предположим, что начальному положению A нашей точки M соответствует значение

, а конечному B – значение (чертёж 15). (чертёж 15)

Каждому значению s в промежутке

отвечает определённое положение движущейся точки, а также определённое значение величины F, которую, таким образом, можно рассматривать как функцию от s. Взяв точку M в каком-нибудь её положении, определяемом значением sпути. Найдём теперь приближённое выражение для элемента работы, соответствующего приращению пути, от sдо , при котором точка M перейдёт в близкое положение . В положении Mна точку действует определённая сила F. Так как изменение этой величины при переходе точки из M в - при малом - также мало, пренебрежём этим изменением и, считая величину силы F приближённо постоянной, найдём для элемента работы на перемещении выражение , так что вся работа W представится интегралом

. (16)

Пример. Применим в виде примера формулу (16) к вычислению работы растяжения (или сжатия) пружины с укреплённым одним концом (чертёж 16).

С этим приходится иметь дело, например, при расчёте буферов у железнодорожных вагонов.

Известно, что растяжение s пружины (если только пружина не перегружена) создаёт натяжение p, по величине пропорциональное растяжению, так что (чертёж 16)

, где c – некоторая постоянная, зависящая от упругих свойств пружины («жёсткость» пружины). Сила, растягивающая пружину, должна преодолевать это натяжение. Если учитывать только ту часть действующей силы, которая на это затрачивается, то её работа при возрастании растяжения от до выразится так:

.

Обозначив через P наибольшую величину натяжения или преодолевающей её силы, соответствующую растяжению пружины (и равную

), мы можем представить выражение для работы в виде .

Если бы к свободному концу пружины сразу была приложена сила P (например, подвешен груз), то на перемещении S ею была бы произведена вдвое большая работа

. Как видим, лишь половина пойдёт на сообщение пружине с грузом кинетической энергии.

2. Двойной интеграл

2.1 Вычисление площади в случае прямоугольной области

Возьмём функцию

, представляющую прямоугольную область . Вычислим площадь данной области с помощью двойного интеграла. Разобьём промежутки и на части, вставляя точки деления

,

.

Тогда прямоугольник разложится на частичные прямоугольники (чертёж 17):

. (чертёж 17)

Обозначим через

и точные нижнюю и верхнюю границы прямоугольника

. Возьмём , тогда . Просуммируем , где sиS – суммы Дарбу. Если и устремить к нулю, то . Это и есть значение K площади: .

2.2 Вычисление площади в случае криволинейной области

Рассмотрим область

, ограниченную снизу и сверху двумя непрерывными кривыми: , , а с боков двумя ординатами и (чертёж 18).

Заключим область

в прямоугольник , (чертёж 18) полагая , . Значение площади Kплощади в этом случае: .